XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei

[Dunix]

Zim, jesteś pewien tych nieoficjalnych wyników?
Bo mi nauczycielka mówiła, że były osoby z 30 pkt a ja z 24 jestem piąty - wyróżnienie

[Zim]

Nie jestem pewny bo to mi nauczyciel mowil i w sumie mógł On albo ja coś przekręcić, więc pewnie Twoje są pewniejsze

[Dunix]

Wiesz co ja też tak całkiem nie jestem pewien
Zobaczymy jak się ukażą oficjalne:)

[dedeluszz]

Wasi nauczyciele pomagali z ocenianiem prac czy poprzez kontakt telefonowy macie info ? :]

[Dunix]

Moja nauczycielka pomagała w poprawianiu i napisała mi smsa

[Kamaso99]

jednak masz dobrze tą nierówność, tutaj były jakieś głupoty .... ;d

[Zim]

Mój nauczyciel też pomagał w poprawianiu właśnie z Nim gadałem i mówi że wyniki tak
30 pkt - nikt nie miał
29 pkt - 2 osoby
24 pkt - laureat na pewno
więc ja już nie wiem co i jak

[nobuddy]

Może ktoś wyjaśnić o co biega z ta nierównością Vax'a na stronie 3? Skąd się to wzięło? Jest prawdziwa, ale po jej zastosowaniu wychodzi mi że rozważane wyrażenie jest mniejsze od 1...

[Marcinek665]

Vax udowodnił, że:

\(\displaystyle{ \frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1} < 1}\)

Natomiast trzeba udowodnić nierówność mocniejszą:

\(\displaystyle{ \frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1} \le \frac{3}{4}}\)

dlatego jego "dowód" jest błędny.

[Vax]

Słusznie, źle przepisałem tezę... jeżeli już tak szacować to powinno być

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+1} \le \frac{9}{16}x+\frac{1}{16}}\)

Ale jak Marcinek zauważył, można to łatwiej udowodnić bez zauważania tego.

Pozdrawiam.

[Dunix]

Nierówność do udowodnienia: \(\displaystyle{ R \ge 2r}\)

Potrzebne wzory:

\(\displaystyle{ S = \frac{abc}{4R}}\), \(\displaystyle{ S= \frac{1}{2}(a+b+c)r}\).

Stąd wyliczmy \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ r}\).

\(\displaystyle{ R= \frac{abc}{4S}}\), \(\displaystyle{ r = \frac{2S}{a+b+c}}\).

Nierówność do udowodnienia jest równoważna:

\(\displaystyle{ \frac{abc}{4S} \ge \frac{4S}{a+b+c}}\). Wymnóżmy na krzyż:

\(\displaystyle{ abc(a+b+c) \ge 16S^2}\)

Wzór Herona:

\(\displaystyle{ abc(a+b+c) \ge (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\).

Są to boki trójkąta, więc możemy skrócić przez \(\displaystyle{ a+b+c}\) i mamy:

\(\displaystyle{ abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\)

Teraz standardowe podstawienie:

\(\displaystyle{ x=a+b}\)
\(\displaystyle{ y=b+c}\)
\(\displaystyle{ z=c+a}\)

Nierówność przyjmie postać:

\(\displaystyle{ (x+y)(y+z)(z+x) \ge 8xyz}\)

Co jest prawdą na mocy nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną. Równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ x=y}\), \(\displaystyle{ y=z}\), \(\displaystyle{ z=x}\), czyli \(\displaystyle{ x=y=z}\) i trójkąt jest równoboczny.

Wiesz co wszystko rozumiem oprócz tego "standardowego podstawienia", chwile nad tym siedziałem i dalej nie mogę wyczarować tej nowej postaci nierówności. Mógłbyś to napisać tak krok po kroku? Z góry dzięki

[satre]

Marcinek665 chciał chyba napisać:
a=x+y
b=y+z
c=z+x
wtedy wszystko by się zgadzało:)

[Marcinek665]

Tak, jasne

A podstawienia możemy dokonać, gdyż (obrazek):

Ukryta treść:    

Widzimy, że odcinki zaznaczone tymi samymi kolorami (niech odcinki danego koloru mają długości \(\displaystyle{ x,y,z}\)) są równe, co wynika z twierdzenia o stycznych, a w skład każdego z odcinka \(\displaystyle{ AB}\),\(\displaystyle{ BC}\),\(\displaystyle{ CA}\) wchodzą po 2 różne takie odcinki o długości \(\displaystyle{ x,y,z,}\) czyli w istocie mamy: \(\displaystyle{ a=x+y}\), \(\displaystyle{ b=y+z}\), \(\displaystyle{ c=z+x}\).

Pozdrawiam

[Dunix]

Dzięki teraz w pełni rozumiem
Pozdrawiam

[Thomas111]

witam,
czy mógłbym prosic o rozwiązanie zadań 2 i 4 z poziomu II?