XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei
XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei
też się dostałem chociaż się nie spodziewałem (tylko 1 zadanie od początku do końca zrobione)
ciekawe jaki był próg
ciekawe jaki był próg
XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei
Zadania z II poziomu
... 0003h.jpg/
Proszę o rozwiązanie zadania 1,
stanąłem na:
18abc>= 2ab + 2bc + 2ca
... 0003h.jpg/
Proszę o rozwiązanie zadania 1,
stanąłem na:
18abc>= 2ab + 2bc + 2ca
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei
Zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{x}{x+1} \le \frac{9}{16}x+\frac{7}{48}}\)
Warto również zauważyć, że teza zachodzi dla \(\displaystyle{ a,b,c > -1}\)
Pozdrawiam.
Warto również zauważyć, że teza zachodzi dla \(\displaystyle{ a,b,c > -1}\)
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei
Vax, nie zniechęcaj ludzi do matematyki 'prostymi spostrzeżeniami', na które nie da się wpaść nie znając metody.
Mamy brzydkie rzeczy w mianowniku, więc zastosujmy podstawienie:
\(\displaystyle{ a+1=x}\)
\(\displaystyle{ b+1=y}\)
\(\displaystyle{ c+1=z}\)
Nierówność wygląda tak:
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x} + \frac{y-1}{y} + \frac{z-1}{z} \le \frac{3}{4}}\)
przy założeniu, że \(\displaystyle{ x+y+z=4}\)
I po przekształceniu:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{4}}\)
Wiemy jednak, że dla dowolnych dodatnich x,y,z zachodzi nierówność między średnią arytmetyczną i harmoniczną:
\(\displaystyle{ \frac{x+y+z}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}}\)
Czyli równoważnie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{x+y+z}}\)
Jednak wobec założenia \(\displaystyle{ x+y+z=4}\), więc nierówność udowodniona
Mamy brzydkie rzeczy w mianowniku, więc zastosujmy podstawienie:
\(\displaystyle{ a+1=x}\)
\(\displaystyle{ b+1=y}\)
\(\displaystyle{ c+1=z}\)
Nierówność wygląda tak:
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x} + \frac{y-1}{y} + \frac{z-1}{z} \le \frac{3}{4}}\)
przy założeniu, że \(\displaystyle{ x+y+z=4}\)
I po przekształceniu:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{4}}\)
Wiemy jednak, że dla dowolnych dodatnich x,y,z zachodzi nierówność między średnią arytmetyczną i harmoniczną:
\(\displaystyle{ \frac{x+y+z}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}}\)
Czyli równoważnie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{x+y+z}}\)
Jednak wobec założenia \(\displaystyle{ x+y+z=4}\), więc nierówność udowodniona
- Dunix
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 4 paź 2010, o 15:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ropczyce
- Podziękował: 3 razy
XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei
Byłbym wdzięczny, gdyby jeszcze ktoś rozwiązał zadanie piąte, niestety nie poradziłem sobie z nim.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei
Nierówność do udowodnienia: \(\displaystyle{ R \ge 2r}\)
Potrzebne wzory:
\(\displaystyle{ S = \frac{abc}{4R}}\), \(\displaystyle{ S= \frac{1}{2}(a+b+c)r}\).
Stąd wyliczmy \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ r}\).
\(\displaystyle{ R= \frac{abc}{4S}}\), \(\displaystyle{ r = \frac{2S}{a+b+c}}\).
Nierówność do udowodnienia jest równoważna:
\(\displaystyle{ \frac{abc}{4S} \ge \frac{4S}{a+b+c}}\). Wymnóżmy na krzyż:
\(\displaystyle{ abc(a+b+c) \ge 16S^2}\)
Wzór Herona:
\(\displaystyle{ abc(a+b+c) \ge (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\).
Są to boki trójkąta, więc możemy skrócić przez \(\displaystyle{ a+b+c}\) i mamy:
\(\displaystyle{ abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\)
Teraz standardowe podstawienie:
\(\displaystyle{ x=a+b}\)
\(\displaystyle{ y=b+c}\)
\(\displaystyle{ z=c+a}\)
Nierówność przyjmie postać:
\(\displaystyle{ (x+y)(y+z)(z+x) \ge 8xyz}\)
Co jest prawdą na mocy nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną. Równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ x=y}\), \(\displaystyle{ y=z}\), \(\displaystyle{ z=x}\), czyli \(\displaystyle{ x=y=z}\) i trójkąt jest równoboczny.
Potrzebne wzory:
\(\displaystyle{ S = \frac{abc}{4R}}\), \(\displaystyle{ S= \frac{1}{2}(a+b+c)r}\).
Stąd wyliczmy \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ r}\).
\(\displaystyle{ R= \frac{abc}{4S}}\), \(\displaystyle{ r = \frac{2S}{a+b+c}}\).
Nierówność do udowodnienia jest równoważna:
\(\displaystyle{ \frac{abc}{4S} \ge \frac{4S}{a+b+c}}\). Wymnóżmy na krzyż:
\(\displaystyle{ abc(a+b+c) \ge 16S^2}\)
Wzór Herona:
\(\displaystyle{ abc(a+b+c) \ge (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\).
Są to boki trójkąta, więc możemy skrócić przez \(\displaystyle{ a+b+c}\) i mamy:
\(\displaystyle{ abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\)
Teraz standardowe podstawienie:
\(\displaystyle{ x=a+b}\)
\(\displaystyle{ y=b+c}\)
\(\displaystyle{ z=c+a}\)
Nierówność przyjmie postać:
\(\displaystyle{ (x+y)(y+z)(z+x) \ge 8xyz}\)
Co jest prawdą na mocy nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną. Równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ x=y}\), \(\displaystyle{ y=z}\), \(\displaystyle{ z=x}\), czyli \(\displaystyle{ x=y=z}\) i trójkąt jest równoboczny.
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 2 kwie 2009, o 17:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krosno / Jasło
XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei
Mam prośbę czy mógłby ktoś mi sprawdzić zadania 1,2,3,4. Przesyłam je jako skanu rozwiązań, gdyż wysyłałem je do mojego nauczyciela i nie mam już siły przepisywać w Tex. Zadania zostały ocenione na 2-3 pkt w skali 6 więc nie wiem czy prace zostały pomieszane czy to ja coś zawaliłem. Przesyłam jedynie tok rozumowania bez komentarzy słownych których było na prawdę dużo.
Bardzo proszę o pomoc i recenzję.
Pozdrawiam
EDIT: Rozwiązania zostały już poprawione.
Bardzo proszę o pomoc i recenzję.
Pozdrawiam
EDIT: Rozwiązania zostały już poprawione.
Ostatnio zmieniony 7 maja 2011, o 20:27 przez Zim, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 2 kwie 2009, o 17:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krosno / Jasło
XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei
Mam tylko nieoficjalne wyniki ale podobno narazie nie ma żadnego maxa na poziomie II a na I 12 maxów.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei
no to wiadomo że wszystkie nieoficjalne, oficjalne będą na stronie podziel się newsami hehe
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 2 kwie 2009, o 17:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krosno / Jasło
XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei
No to tak jak mówiłem poziom II laureat na pewno 24 pkt nie wiem czy nizej i podobne info o wyroznieniach wiem ze za 21 pkt bylo no i 2 osoby 29 pkt i to najwyzszy wynik.
Proszę niech ktoś rzuci okiem tam na moje rozwiązania bo to jest dość pilna sprawa.
Proszę niech ktoś rzuci okiem tam na moje rozwiązania bo to jest dość pilna sprawa.
XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei
hehehe ciekawe kto miał te 29 pkt
Mam nadzieję że szybko opublikują listę... ;]
Mam nadzieję że szybko opublikują listę... ;]