XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei

[dedeluszz]

też się dostałem chociaż się nie spodziewałem (tylko 1 zadanie od początku do końca zrobione)
ciekawe jaki był próg

[Zim]

Dla poziomu drugiego próg wynosi 20

[dedeluszz]

Zadania z II poziomu

... 0003h.jpg/

Proszę o rozwiązanie zadania 1,
stanąłem na:
18abc>= 2ab + 2bc + 2ca

[Vax]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{x}{x+1} \le \frac{9}{16}x+\frac{7}{48}}\)

Warto również zauważyć, że teza zachodzi dla \(\displaystyle{ a,b,c > -1}\)

Pozdrawiam.

[Marcinek665]

Vax, nie zniechęcaj ludzi do matematyki 'prostymi spostrzeżeniami', na które nie da się wpaść nie znając metody.

Mamy brzydkie rzeczy w mianowniku, więc zastosujmy podstawienie:

\(\displaystyle{ a+1=x}\)
\(\displaystyle{ b+1=y}\)
\(\displaystyle{ c+1=z}\)

Nierówność wygląda tak:

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x} + \frac{y-1}{y} + \frac{z-1}{z} \le \frac{3}{4}}\)
przy założeniu, że \(\displaystyle{ x+y+z=4}\)

I po przekształceniu:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{4}}\)

Wiemy jednak, że dla dowolnych dodatnich x,y,z zachodzi nierówność między średnią arytmetyczną i harmoniczną:

\(\displaystyle{ \frac{x+y+z}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}}\)

Czyli równoważnie:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{x+y+z}}\)

Jednak wobec założenia \(\displaystyle{ x+y+z=4}\), więc nierówność udowodniona

[Dunix]

Byłbym wdzięczny, gdyby jeszcze ktoś rozwiązał zadanie piąte, niestety nie poradziłem sobie z nim.

[Marcinek665]

Nierówność do udowodnienia: \(\displaystyle{ R \ge 2r}\)

Potrzebne wzory:

\(\displaystyle{ S = \frac{abc}{4R}}\), \(\displaystyle{ S= \frac{1}{2}(a+b+c)r}\).

Stąd wyliczmy \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ r}\).

\(\displaystyle{ R= \frac{abc}{4S}}\), \(\displaystyle{ r = \frac{2S}{a+b+c}}\).

Nierówność do udowodnienia jest równoważna:

\(\displaystyle{ \frac{abc}{4S} \ge \frac{4S}{a+b+c}}\). Wymnóżmy na krzyż:

\(\displaystyle{ abc(a+b+c) \ge 16S^2}\)

Wzór Herona:

\(\displaystyle{ abc(a+b+c) \ge (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\).

Są to boki trójkąta, więc możemy skrócić przez \(\displaystyle{ a+b+c}\) i mamy:

\(\displaystyle{ abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\)

Teraz standardowe podstawienie:

\(\displaystyle{ x=a+b}\)
\(\displaystyle{ y=b+c}\)
\(\displaystyle{ z=c+a}\)

Nierówność przyjmie postać:

\(\displaystyle{ (x+y)(y+z)(z+x) \ge 8xyz}\)

Co jest prawdą na mocy nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną. Równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ x=y}\), \(\displaystyle{ y=z}\), \(\displaystyle{ z=x}\), czyli \(\displaystyle{ x=y=z}\) i trójkąt jest równoboczny.

[Dunix]

Dzięki

[Zim]

Mam prośbę czy mógłby ktoś mi sprawdzić zadania 1,2,3,4. Przesyłam je jako skanu rozwiązań, gdyż wysyłałem je do mojego nauczyciela i nie mam już siły przepisywać w Tex. Zadania zostały ocenione na 2-3 pkt w skali 6 więc nie wiem czy prace zostały pomieszane czy to ja coś zawaliłem. Przesyłam jedynie tok rozumowania bez komentarzy słownych których było na prawdę dużo.
Bardzo proszę o pomoc i recenzję.
Pozdrawiam


EDIT: Rozwiązania zostały już poprawione.

[dedeluszz]

to już oceniali ????
ile maksów ? :]

[Zim]

Mam tylko nieoficjalne wyniki ale podobno narazie nie ma żadnego maxa na poziomie II a na I 12 maxów.

[Marcinek665]

To słabe te wyniki, zadania były proste.

[dedeluszz]

no to wiadomo że wszystkie nieoficjalne, oficjalne będą na stronie podziel się newsami hehe

[Zim]

No to tak jak mówiłem poziom II laureat na pewno 24 pkt nie wiem czy nizej i podobne info o wyroznieniach wiem ze za 21 pkt bylo no i 2 osoby 29 pkt i to najwyzszy wynik.
Proszę niech ktoś rzuci okiem tam na moje rozwiązania bo to jest dość pilna sprawa.

[dedeluszz]

hehehe ciekawe kto miał te 29 pkt
Mam nadzieję że szybko opublikują listę... ;]