macierz przekształcenia liniowego

[ANaJot]

Znaleźć z definicji macierz podanego przekształcenia liniowego we wskazanych bazach odpowiednich przestrzeni liniowych


\(\displaystyle{ L:R^{3} \rightarrow R ^{2,},L(x,y,z,t)=(x+y,z+t),}\)
\(\displaystyle{ \vec{u} _{1} =(1,0,0,0),\vec{u} _{2} ,=(1,2,0,0),\vec{u} _{3} =(1,2,3,0),\vec{u} _{4} =(1,2,3,4),}\)
\(\displaystyle{ \vec{v} _{1} =(1,0),\vec{v} _{2} =(1,2)}\)



I have no idea

help

[Zag?oba]

Obliczasz wartość przekształcenia dla wektorów u, następnie otrzymaną wartość zapisujesz jako kombinacje liniową wektorów v. Wygląda to tak:

\(\displaystyle{ L(1,0,0,0)= (1,0)= 1(1,0) +0(1,2)\\
L(1,2,0,0)= (3,0)= 3(1,0) +0(1,2)\\
L(1,2,3,0)= (3,3)= \frac{3}{2} (1,0) + \frac{3}{2} (1,2)\\
L(1,2,3,4)= (3,7)= -\frac{1}{2} (1,0) + \frac{7}{2} (1,2)}\)

Otrzymane współrzędne zapisujemy w kolumnach macierzy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&3& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2} \\0&0&\frac{3}{2}& \frac{7}{2} \end{bmatrix}}\)
Otrzymana macierz jest macierzą przekształcenia liniowego L

[mmss444]

L(1,2,3,0)= (3,3)= \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)(1,0) + \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)(1,2)

L(1,2,3,4)= (3,7)= \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\)(1,0) +\(\displaystyle{ \frac{7}{2}}\)(1,2)

Czemu \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) a nie \(\displaystyle{ 3}\)?? Lub \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) zamiast \(\displaystyle{ 3}\)??

[xanowron]

L(1,2,3,0)= (3,3)= \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)(1,0) + \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)(1,2)

L(1,2,3,4)= (3,7)= \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\)(1,0) +\(\displaystyle{ \frac{7}{2}}\)(1,2)

Czemu \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) a nie \(\displaystyle{ 3}\)?? Lub \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) zamiast \(\displaystyle{ 3}\)??

A byłoby wtedy dobrze?

[mmss444]

L(1,2,3,0)= (3,3)= \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)(1,0) + \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)(1,2)

L(1,2,3,4)= (3,7)= \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\)(1,0) +\(\displaystyle{ \frac{7}{2}}\)(1,2)

Czemu \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) a nie \(\displaystyle{ 3}\)?? Lub \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) zamiast \(\displaystyle{ 3}\)??

A byłoby wtedy dobrze?

Po glebszej analizie dochodze do wniosku, ze masz racje, dopiero zaczynam z przestrzeniami, wiec to dla mnie jeszcze chaos.

Dzieki za szybka odpowiedz.

[xanowron]

Współrzędne wektora w bazie są wyznaczone jednoznacznie, także może być tylko jedna odpowiedź