równanie rekurencyjne

[kuma]

\(\displaystyle{ a_{n+1}=2(n+1)a_{n}-10n-5, n \ge 0, a_{0}=5}\)

Proszę o pomoc przy tym zadaniu. Mam problem ze zrozumieniem zasady rozwiązywania tego typu równań...

[abc666]

Masz z góry narzucony jakiś sposób rozwiązania?

[kuma]

Nie, nie mam. Podejrzewam, że trzeba będzie skorzystać z funkcji tworzących.

[Burii]

Rozważ ciąg \(\displaystyle{ t _{n}= \frac{a _{n} }{ \prod_{k=0}^{n-1}2\left( n+1\right) }}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\). Wówczas \(\displaystyle{ t _{1}= \frac{a _{1} }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ a _{n}=t _{n} \prod_{k=0}^{n-1} 2\left( n+1\right)}\) podstawiasz to do wyjściowej rekurencji przekształcasz i otrzymujesz rekurencje typu \(\displaystyle{ t _{n+1} =t _{n} + d _{n}}\) wzór jawny \(\displaystyle{ d _n}\) jakoś sobie wyliczysz. Ostatnią rekurencje rozwiązujesz już sumując i skracając odpowiednie wyrazy \(\displaystyle{ d _{n}}\) .

[kuma]

Rozważ ciąg \(\displaystyle{ t _{n}= \frac{a _{n} }{ \prod_{k=0}^{n-1}2\left( n+1\right) }}\)

a skąd się wziął taki magiczny wzorek?

[Burii]

To tylko podstawienie:D

[kuma]

ok, tylko czy to jest "takie magiczne wpaśc na to że jak się podstawi... " czy ogólnie znana zależność?

[Burii]

Jest ogólna metoda rozwiązywania tego typu rekurencji. Np. Twoja to tzw równanie niejednorodne rzędu pierwszego.