Znaleźć ekstrema lokalne

[Adziorros]

Czy może mi ktoś krok po kroku wyjaśnić jak policzyć ekstrema lokalne na przykładzie fundkcji:

\(\displaystyle{ f(x,y)=x^{2}-xy+2y^{2}-x+4y-19}\)

[Kasiula@]

\(\displaystyle{ f(x,y)=x^{2}-xy+2y^{2}-x+4y-19}\)

(1)
Wyznaczamy punkt krytyczny funkcji f. Wyznaczamy go z nastepujacego warunku:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=0, \frac{\partial f}{\partial y}=0}\)
zatem u nas otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=2x-y-1=0\\\frac{\partial f}{\partial y}=-x+4y+4=0\end{cases}}\)
Stąd otrzymujemy: x=0,y=-1 (A=(0,-1))

(2)
Wyznaczamy macierz Hessego:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial^{2} f(A)}{\partial x^{2}}&\frac{\partial^{2} f(A)}{\partial x \partial y}\\\frac{\partial^{2} f(A)}{\partial x \partial y}&\frac{\partial^{2} f(A)}{\partial y^{2}}\end{array}\right]}\), A - punkt krytyczny.
W naszym przypadku macierz Hessego przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&-1\\-1&4\end{array}\right]}\)
Zauważmy,że:
(*)\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f(A)}{\partial x^{2}}>0}\) oraz wyznacznik macierzy Hessego w punkcie A jest większa od zera.
Z (*) wynika,że funkcja f w punkcie A ma minimum.



Na marginesie:
(i)\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f(A)}{\partial x^{2}}}\)

[hogix]

Przepraszam, że odświeżam stary temat, ale mam pytanie bo nie do końca rozumiem. Jeśli druga pochodna po x > 0 i wyznacznik > 0 to funkcja ma minimum, a jeśli oba są ujemne to funkcja ma maksimum? I czy jeśli jest +/- lub -/+ to występuje tzw siodło?

[okaokajoka]

nie bardzo rozumiem, a to nie jest tak że wyznacznik decyduje o samym istnieniu ekstremum a o znaku decyduje pochodna po iksie? jak wyznacznik jest mniejszy to nie ma ekstremum wcale, myle się?

[miodzio1988]

zgadza sie