[Równania] Równanie Pella.

[Marcinek665]

Wykaż, że jeśli liczba \(\displaystyle{ m=2+2\sqrt{28n^2 + 1}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_{+}}\) jest liczbą całkowita, to jest także kwadratem pewnej liczby całkowitej.

Chciałbym tutaj skorzystać z własności równania Pella, jednak nie wiem, jak zacząć. Nie proszę o rozwiązanie, bo je mam, tylko chciałbym zrobić to bez patrzenia na wzorcówkę . Hinty mile widziane.

Pozdrawiam.

[adamm]

hint 0.1:    

\(\displaystyle{ m \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 28n^2 + 1=x^2}\)

hint:    

wzór ogólny na na \(\displaystyle{ x}\), IMO obrzydliwe to równanie

rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ x = \frac{1}{2} ((127-48 \sqrt{7})^k+(127+48 \sqrt{7})^k)}\)

[Marcinek665]

1 Hint jest istotnie czymś, co nie doprowadzi do celu.
2 Też umiem wklepać równanie do wolframa.

Mimo wszystko dzięki, a dla potomnych:

Wystarczy daną równość podnieść do kwadratu.

[Vax]

Ukryta treść:    

Łatwo zauważamy, że dane równanie jest równoważne \(\displaystyle{ 1 = (\frac{m}{2}-1)^2-28n^2}\), podstawiając \(\displaystyle{ x=\frac{m}{2}-1 \wedge y=n}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 1 = x^2-28y^2}\) a to jest równanie Pella, zauważamy, że najmniejszym nietrywialnym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ (x,y) = (127,24)}\) skąd wszystkie rozwiązania są postaci \(\displaystyle{ \frac{m}{2}-1+2n\sqrt{7} = (127+48\sqrt{7})^k}\), nasze \(\displaystyle{ \frac{m}{2}-1}\) wyraża się \(\displaystyle{ \frac{m}{2}-1 = \frac{(127+48\sqrt{7})^k+(127-48\sqrt{7})^k}{2} = \frac{(8+3\sqrt{7})^{2k}+(8-3\sqrt{7})^{2k}}{2}}\) skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ m = (8+3\sqrt{7})^{2k}+(8-3\sqrt{7})^{2k}+2 = ((8+3\sqrt{7})^k+(8-3\sqrt{7})^k)^2}\) cnd.

[Marcinek665]

Nie żebym się czepiał, ale jak doszedłeś do tego, że pierwszym nietrywialnym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ (x,y)=(127,24)}\)? xD

[adamm]

Też umiem wklepać równanie do wolframa.

Brawo, musiało się to przydać przy szukaniu najmniejszego rozwiązania (chyba, że liczyłeś na palcach, wtedy należą się podwójne brawa). Powiedz mi jakich podpowiedzi oczekiwałeś? To co napisałem wypełnia w 100% rzekomy cel założenia tematu i sprowadza się ostatecznie do tego samego co zauważyłeś, a rozwinął Vax (nie widziałem celowości pokazywania obliczeń, bo to mieści się już w kompletnym rozwiązaniu, nie podpowiedzi jak zacząć).

[Marcinek665]

Ogólnie mnie śmieszy to, że napisałeś hinta (pierwszego), który nie prowadzi do celu, a jest tylko luźnym spostrzeżeniem. W momencie, gdy już zwątpiłem w swoje siły, wpisałem to równanie do wolframa i... dostałem dokładnie to, co Ty mi napisałeś.

Tak czy inaczej, wejście na kalkulator i przepisanie równania to też pewien niezerowy wysiłek, za co dziękuję

Zapalmy fajkę pokoju i w ogóle. Chyba, że chcesz się spinać, to proszę bardzo, ja już zadanie zrobiłem i tu nie będę zaglądał

[adamm]

Zapalmy fajkę pokoju i w ogóle. Chyba, że chcesz się spinać, to proszę bardzo, ja już zadanie zrobiłem i tu nie będę zaglądał

Nie było tematu, notabene w przyszłym roku, na finale OMa ( ) lepiej mieć mniej niż więcej wrogów .

Pozdrawiam

[XMaS11]

Ogólnie mnie śmieszy to, że napisałeś hinta (pierwszego), który nie prowadzi do celu, a jest tylko luźnym spostrzeżeniem. W momencie, gdy już zwątpiłem w swoje siły, wpisałem to równanie do wolframa i... dostałem dokładnie to, co Ty mi napisałeś.

Tak czy inaczej, wejście na kalkulator i przepisanie równania to też pewien niezerowy wysiłek, za co dziękuję

Zapalmy fajkę pokoju i w ogóle. Chyba, że chcesz się spinać, to proszę bardzo, ja już zadanie zrobiłem i tu nie będę zaglądał

Ten hint byl bardzo trafny. Zwrocenie uwagi nawet na najbardziej trywialne spostrzezenie moze byc swietna podpowiedzia. Zaczynasz bowiem wiedziec, ze pomimo swojej trywialnosci jest istotne.

[Marcinek665]

No teraz też zauważyłem, że po podniesieniu wszystkiego na pałę dostanę to samo równanie Pella, co w hincie xD

[Swistak]

Może trochę po czasie, ale wcześniej nie patrzyłem do tego tematu ;p.
Było tutaj: 142505.htm

[Marcinek665]

No, to ja widziałem, tylko mi zależało na rozwiązaniu z 'wykorzystaniem' Pella