Witam!
Wiem jak liczyć transformatę funkcji jednowymiarowej (korzystam na przykład ze wzorów) z przesunięciem w czasie i skalowaniem, ale przy funkcji dwuwymiarowej nie mam punktu zaczepienia... Ślicznie proszę o pomoc, choćby krótkie wytłumaczenie na poniższym przykładzie:
\(\displaystyle{ f(x,y)=exp(-5 x^{2} - y^{2})}\)
Pozdrawiam!
Transformata Fouriera prostej funkcji
-
mustelanivalis
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 12 wrz 2009, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ursus
- Pomógł: 8 razy
Transformata Fouriera prostej funkcji
Generalnie definicja transformaty funkcji wielu zmiennych jest naturalnym uogólnieniem jednowymiarowej, czyli dla \(\displaystyle{ f=f(z)}\), \(\displaystyle{ z \in \mathbb{R}^n}\) w zależności od konwencji np.
\(\displaystyle{ \hat{f}(p) = \int_{\mathbb{R}^n} f(z) e^{- 2 \pi i p \cdot z} dz}\)
gdzie \(\displaystyle{ p \cdot z}\) to iloczyn skalarny.
W Twoim przypadku łatwo zauważyć, że funkcja się rozkłada na iloczyn funkcji jednej zmiennej tj. \(\displaystyle{ f(x,y) = g(x)h(y)}\) więc liczenie powyższej całki sprowadza się do liczenia dwóch całek (transformat) z funkcji jednej zmiennej:
\(\displaystyle{ \hat{f}(r,s) = \int_{\mathbb{R}^2} f(x,y) e^{- 2 \pi i (r,s) \cdot (x,y)} dx dy =}\) \(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}^2} g(x)h(y) e^{- 2 \pi i (rx + sy)} dx dy =}\)
\(\displaystyle{ = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) e^{- 2 \pi i rx} dx \int_{-\infty}^{+\infty} h(y) e^{- 2 \pi i sy} dy = \hat{g}(r) \hat{h}(s)}\)
\(\displaystyle{ \hat{f}(p) = \int_{\mathbb{R}^n} f(z) e^{- 2 \pi i p \cdot z} dz}\)
gdzie \(\displaystyle{ p \cdot z}\) to iloczyn skalarny.
W Twoim przypadku łatwo zauważyć, że funkcja się rozkłada na iloczyn funkcji jednej zmiennej tj. \(\displaystyle{ f(x,y) = g(x)h(y)}\) więc liczenie powyższej całki sprowadza się do liczenia dwóch całek (transformat) z funkcji jednej zmiennej:
\(\displaystyle{ \hat{f}(r,s) = \int_{\mathbb{R}^2} f(x,y) e^{- 2 \pi i (r,s) \cdot (x,y)} dx dy =}\) \(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}^2} g(x)h(y) e^{- 2 \pi i (rx + sy)} dx dy =}\)
\(\displaystyle{ = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) e^{- 2 \pi i rx} dx \int_{-\infty}^{+\infty} h(y) e^{- 2 \pi i sy} dy = \hat{g}(r) \hat{h}(s)}\)
-
Noegrus
- Użytkownik
- Posty: 116
- Rejestracja: 1 kwie 2007, o 12:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 2 razy
Transformata Fouriera prostej funkcji
Ok, dzięki, jeszcze jedno pytanko, tak na szybko: jak się robi skalowanie w czasie i przesunięcie w czasie jednocześnie? Umiem to zrobić oddzielnie, ale razem - trudno mi to sobie wyobrazić. Prosty przykład:
\(\displaystyle{ f(x) = rect( \frac{x-8}{2} )}\)
Bardzo prosiłbym o odpowiedź
Pozdrawiam!
\(\displaystyle{ f(x) = rect( \frac{x-8}{2} )}\)
Bardzo prosiłbym o odpowiedź
Pozdrawiam!
-
mustelanivalis
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 12 wrz 2009, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ursus
- Pomógł: 8 razy
Transformata Fouriera prostej funkcji
Twój problem sprowadza się do liniowej zamiany zmiennych pod całką:
\(\displaystyle{ \hat{f}(p) = \int f(x) e^{-2 \pi i p x} dx = \int g(ax+b) e^{-2 \pi i p x} dx = \{ax+b = y\} = {1 \over a} \int g(y) e^{-2 \pi i p {y-b \over a}} dy = {1 \over a} e^{2 \pi i p {b \over a}} \int g(y) e^{-2 \pi i {p \over a} y} dy = {1 \over a} e^{2 \pi i p {b \over a}} \hat{g}({p \over a})}\)
Oczywiście ten sam rezultat uzyskałbyś stosując znane Ci wzory: należałoby najpierw zastosować jeden z nich a potem drugi, w dowolnej kolejności.
\(\displaystyle{ \hat{f}(p) = \int f(x) e^{-2 \pi i p x} dx = \int g(ax+b) e^{-2 \pi i p x} dx = \{ax+b = y\} = {1 \over a} \int g(y) e^{-2 \pi i p {y-b \over a}} dy = {1 \over a} e^{2 \pi i p {b \over a}} \int g(y) e^{-2 \pi i {p \over a} y} dy = {1 \over a} e^{2 \pi i p {b \over a}} \hat{g}({p \over a})}\)
Oczywiście ten sam rezultat uzyskałbyś stosując znane Ci wzory: należałoby najpierw zastosować jeden z nich a potem drugi, w dowolnej kolejności.