holomorficzność funkcji zespolonej

[Kocurka]

Mam pytanie, jak pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ z^n}\) jest holomorficzna na całym \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)? Czy wystarczy wyznaczyć pochodną z definicji, i stwierdzić że pochodna ta istnieje dla wszystkich \(\displaystyle{ z\in\mathbb{C}}\) ?
Będę bardzo wdzięczna za pomoc.

[kristoffwp]

Proponuję skorzystać z warunku równoważnego. Muszę być mianowicie spełnione równania Cauchy'ego - Riemanna i pochodne cząstkowe części rzeczywistej i urojonej funkcji muszą być ciągłe.

[szw1710]

Wydaje mi się, że sprawdzenie równań Cauchy'ego-Riemanna dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) byłoby zadaniem kłopotliwym. Tymczasem bardzo łatwo z definicji (identycznie jak w przypadku rzeczywistym) wykazać, że \(\displaystyle{ (z^n)'=nz^{n-1}}\), więc skoro funkcja ma pochodną w każdym punkcie \(\displaystyle{ z}\) , to jest holomorficzna na całej płaszczyźnie.

[kristoffwp]

Moment, zakładamy, że \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\)?

[szw1710]

Złapałem się: liczba \(\displaystyle{ n}\) zawsze musi być naturalna

Masz oczywiście rację.

[Zordon]

Jeśli \(\displaystyle{ n\notin \mathbb{N}}\) to teza z zadania nie jest prawdziwa.
No, przynajmniej dla ujemnych

[szw1710]

Ale kristoffwp ma rację: rutyna zabija. A Twoja obserwacja jest w 100% prawdziwa Chyba więc autorce rzeczywiście chodziło o wykładniki naturalne.

[kristoffwp]

Dla \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) łatwo pokazać spełnienie równań C-R. Przechodzisz na postać trygonometryczną i tyle. Samo wychodzi. Z definicji pewnie też.

[szw1710]

Po raz kolejny masz rację: \(\displaystyle{ z^n=\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)^n\Biggl(\cos\biggl( n\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\biggr)+i\sin\biggl( n\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\biggr)\Biggr)}\) dla \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i wyjdzie. Jakoś wcześniej próbowałem w pamięci, ale nie szło. Jednak osobno trzeba rozważyć tu punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\).

Ale trochę bronię swojej tezy, że jednak łatwiej (bo bez dodatkowej wiedzy) z definicji.

[kristoffwp]

Po raz kolejny masz rację: \(\displaystyle{ z^n=(\sqrt{x^2+y^2})^n(\cos nx+i\sin nx)}\) dla \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i wyjdzie. Jakoś wcześniej próbowałem w pamięci, ale nie szło. Ale trochę bronię swojej tezy, że jednak łatwiej (bo bez dodatkowej wiedzy) z definicji.

Racja. Jeszcze \(\displaystyle{ x}\) pod sinusem i cosinusem zamień na jakąś inną literkę (argument \(\displaystyle{ z}\) to nie \(\displaystyle{ x}\) w tych oznaczeniach).

[szw1710]

kristoffwp, Dziękuję - poprawiłem

[Kocurka]

Bardzo dziękuję za odpowiedzi i przepraszam za małe zamieszanie z \(\displaystyle{ n}\), chodziło mi oczywiście o \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) =)