[Nierówności] Szacowanie sumy

[mol_ksiazkowy]

Znajdz zbior wartosci sumy:
\(\displaystyle{ s= \frac{a}{a+b+d} + \frac{b}{a+b+c}+ \frac{c}{b+c+d}+ \frac{d}{a+c+d}}\)
gdzia a,b ,c, d są to dowolne liczby dodatnie....

[Marcin88]

\(\displaystyle{ \frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=1}\) i przyjmując: \(\displaystyle{ a=1 \: \: b=d=\epsilon \: \: c=\epsilon^2}\) widać że przy \(\displaystyle{ \epsilon\to0}\) suma może być dowolnie bliska 1.
Zatem zbiorem wartości tego wyrażenia będzie obustronnie otwarty przedział: \(\displaystyle{ (1;2)}\)

[mol_ksiazkowy]

ok, bardzo ładnie, a czy kazda liczba z tego przedziału moze być przyjeta ....? toby trzeba było jakos krotko uzasadnic zeby wszystko było gites!

[Marcin88]

Słuszna uwaga. Niech więc np.: \(\displaystyle{ b=d=\epsilon\: \: a+b+c+d=1}\) Wtedy jest: \(\displaystyle{ s(a,\epsilon)=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}=\frac{a}{a+2\epsilon}+\frac{2\epsilon}{1-\epsilon}+\frac{1-a-2\epsilon}{1-a}=2+\frac{2\epsilon}{1-\epsilon}-\frac{2\epsilon}{1-a}}\)
Patrząc na s jako na funkcję zmiennej a: \(\displaystyle{ 0}\)