Granica... trochę dziwna.

[Maciejas]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \left( \frac{x-1}{x}\right) ^{x}}\)

1. Czy to właściwy wzór na granicę prawdopodobieństwa wystąpienia samych porażek w \(\displaystyle{ x}\) próbach o prawdopodobieństwie sukcesu \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\)?

2. Jak obliczyć tą granicę i czy w ogóle ten ciąg jest zbieżny do czegoś, co nie jest jedynką?

[Chromosom]

1. tak tylko ze \(\displaystyle{ x\in\mathbb Z}\)
2. z definicji liczby \(\displaystyle{ e}\), duzo przykladow jest na forum

[Maciejas]

Do czegoś doszedłem... Tylko jak udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty } \left(\frac{x-1}{x}\right)^x = \lim_{ x\to\infty } \left(\frac{x}{x+1}\right)^x}\)?

Wydaje się takie proste, że aż mnie korci, żeby napisać "dowód jest trywialny"

I całe rozumowanie:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty } \left(\frac{x-1}{x}\right)^x = \lim_{ x\to\infty } \left(\frac{x}{x+1}\right)^x = \lim_{ x\to\infty } \left(\frac{x+1}{x}\right)^{-x} = \frac{\lim_{ x\to\infty } 1}{\lim_{ x\to\infty }\left(\frac{x+1}{x}\right)^{x}} = \frac{1}{e}}\)

[miodzio1988]

A po co takie cuda robić?

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty } \left(\frac{x-1}{x}\right)^x =\lim_{ x\to\infty } (1+ \frac{-1}{x} ) ^{x} =e ^{-1}}\)

[Maciejas]

Czuję się głupio, ale nie wiem, jak wyprowadzić Twoją drugą równość z definicji

[miodzio1988]

152288.htm

jest odpowiednie twierdzenie na to. Nie umiesz tego twierdzenia pokazać? Na Ważniaku na bank jest dowód. I nie musisz się czuć głupio. Masz 17 lat zaledwie

[Maciejas]

Jest Zapomniałem, że inną trochę definicję się stosuje, kiedy ciąg jest zbieżny do zera, a kiedy jest rozbieżny do nieskończoności...

Hm, straszyli mnie, że powinienem to umieć zanim trafię na studia, bo się nie wyrobię...

[miodzio1988]

Kto Cię straszył? Wyrobisz się spokojnie. Idź dziewczyny wyrywać. Tego na studiach spokojnie się nauczysz

[Zordon]

Do czegoś doszedłem... Tylko jak udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty } \left(\frac{x-1}{x}\right)^x = \lim_{ x\to\infty } \left(\frac{x}{x+1}\right)^x}\)?

Wydaje się takie proste, że aż mnie korci, żeby napisać "dowód jest trywialny"

No bo jest :
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty } \left(\frac{x-1}{x}\right)^x}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ x=t+1}\)
Mamy \(\displaystyle{ t\to \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ t\to\infty } \left(\frac{t}{t+1}\right)^{t+1}=\lim_{ t\to\infty } \left(\frac{t}{t+1}\right)^{t} \cdot \left(\frac{t}{t+1}\right)=\lim_{ t\to\infty } \left(\frac{t}{t+1}\right)^{t}}\)

[Maciejas]

@miodzio1988 - moja chyba miałaby coś przeciw temu A straszyła mnie moja nauczycielka od matematyki - granice i pochodne robi się raz, dwa, w dwa miesiące, a potem już całki od razu"...

@Zordon - dzięki, faktycznie banał, przecież to dąży do jedynki ^^