[Kombinatoryka][Nierówności] Liczba rozwiązań nierówności

[Zim]

Wyznacz liczbę wszystkich różnych rozwiązań nierówności: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\leqslant2004}\) w zbiorze liczb naturalnych dodatnich.

[szw1710]

Czy \(\displaystyle{ (1,2,3,4,5)}\) oraz \(\displaystyle{ (5,4,3,2,1)}\) to różne rozwiązania czy to samo? Czyli czy za jedno rozwiązanie uznajemy wszystkie rozwiązania różniące się tylko porządkiem składników?

W zależności od odpowiedzi chodzi o liczbę punktów kratowych (o współrzędnych całkowitych dodatnich) albo sześcianu, albo sympleksu.

Czy z całą odpowiedzialnością oświadczysz, że to zadanie nie pochodzi z obecnie trwającego konkursu?

[Zim]

Zadanie pochodzi z etapu wojewódzkiego IV Podkarpackiego Konkursu Matematycznego z 2004 roku i nic mi nie wiadomo o tym, że występuje w którymś z obecnie trwających konkursów. Co do interpretacji treści mam podobne wątpliwości, ale uznajmy rozwiązania różniące się porządkiem składników za różne.

[adamm]

Zadanie pochodzi z etapu wojewódzkiego IV Podkarpackiego Konkursu Matematycznego z 2004 roku i nic mi nie wiadomo o tym, że występuje w którymś z obecnie trwających konkursów. Co do interpretacji treści mam podobne wątpliwości, ale uznajmy rozwiązania różniące się porządkiem składników za różne.

Ukryta treść:    

Wypiszmy kolejno \(\displaystyle{ 2004}\) jedynki w ten sposób: \(\displaystyle{ \underbrace{1 \circ 1 \circ \ldots \circ1}_{2004}}\), w miejsca kółek wpiszemy kreski które podzielą nasz zbiór jedynek na kilka podzbiorów np. \(\displaystyle{ 1 || 1 \circ 1 \circ 1 \circ1 || 1 \circ1 \circ 1 || 1 \circ 1}\) oznacza podzielenie liczby \(\displaystyle{ 10}\) na liczby \(\displaystyle{ 1, 4, 3,2}\). Aby dokonać wymaganego w treści zadania podziału musimy wybrać dokładnie \(\displaystyle{ 4}\) kołka w które zostaną wpisane \(\displaystyle{ 4}\) kreski, takich miejsc (kółek) dla \(\displaystyle{ 2004}\) jedynek mamy oczywiście \(\displaystyle{ 2003}\). Rozumowanie powtarzamy zaczynając od dzielenia zbioru \(\displaystyle{ 5}\) jedynek, a więc szukana ilość rozwiązań wynosi \(\displaystyle{ \sum_{i=5}^{2003} {i \choose 4} .}\)

[Zim]

Miałem identyczny pomysł ale rozwiązania mają być różne i nie wiem jak to uwzględnić.

[Zordon]

Tamtą sumę da się wyliczyć.

[adamm]

Zgadza się i wyniesie ona \(\displaystyle{ {2004 \choose 5}-1}\), ale przez moje niedoczytanie jest to wciąż błędna odpowiedź.

[Zordon]

Na czym polega "niedoczytanie"? Moim zdaniem jest ok.

[Zim]

Na czym polega "niedoczytanie"? Moim zdaniem jest ok.

Nie jest uwzględnione to, iż rozwiązania mają być różne.

[adamm]

Trochę się chyba namieszało w tym temacie, więc napiszę jak ja to rozumiem. Jeżeli zliczamy zgodnie z tym co napisał Zim w trzecim poście, to mamy co napisałem (no prawie, bo właściwie powinno być \(\displaystyle{ \sum_{i=4}^{2003} {i \choose 4}={2004 \choose 5}}\), gdy zaczynamy od \(\displaystyle{ 5}\) jedynek to mamy \(\displaystyle{ 4}\) luki na kreski xd), a jeżeli nie (zgodnie z tym jak rozumiem późniejszą erratę Zima), tj. np. \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(1,2,3,4,5)=(5,4,3,2,1)}\) zliczamy jako jedno rozwiązanie to jeszcze nie wiem jak to ładnie zrobić.

[Zordon]

nie, to nie jest jedno rozwiązanie, każde rozwiązanie takiej nierówności to pewna piątka uporządkowana, a jak wiadomo one są równe wtedy i tylko wtedy gdy na każdej pozycji występują te same liczby.
Przynajmniej tak należy interpretować treść zadania z 1 posta.

[Zim]

(zgodnie z tym jak rozumiem późniejszą erratę Zima), tj. np. \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(1,2,3,4,5)=(5,4,3,2,1)}\) zliczamy jako jedno rozwiązanie to jeszcze nie wiem jak to ładnie zrobić.

uznajmy rozwiązania różniące się porządkiem składników za różne.

Więc ja uważam, że \(\displaystyle{ (1,2,3,4,5)}\) oraz \(\displaystyle{ (5,4,3,2,1)}\) są różnymi rozwiązaniami. Trochę namieszaliśmy.
Mam jeszcze pytanko, czy rozwiązanie \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(1,1,1,1,1)}\) jest według Was zgodne z treścią zadania?