Charakteryzacja dyfeomorfizmów

[max]

Niech \(\displaystyle{ f = (f_{1},\ldots, f_{n}):\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}}\) będzie odwzorowaniem klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\), spełniającym warunki:

1. Dla dowolnego zbioru zwartego \(\displaystyle{ K\subset \mathbb{R}^{n}}\) przeciwobraz \(\displaystyle{ f^{-1}(K)}\) jest zwarty.
2. \(\displaystyle{ \det \left[\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(x)\right]_{i,j=1}^{n} \neq 0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}^{n}}\).

Pokaż, że wówczas \(\displaystyle{ f}\) jest dyfeomorfizmem klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\).

[Wasilewski]

Przedstawię jakąś intuicję, która być może doprowadzi mnie do rozwiązania w skończonym czasie. Otóż mamy do czynienia z nakryciem skończonej krotności (co było przedmiotem jednego z proponowanych przez Ciebie zadań), wobec tego starczyłoby nam pokazać, że ma ono krotność równą jeden. Tu nasuwają się dwa pomysły; sprawdzić, że przy postawionych warunkach obraz musi być jednospójny albo (co może być nieprawdą), pokazać, że grupa podstawowa obszaru w przestrzeni euklidesowej jest beztorsyjna (tu intuicja jest taka, że jeśli ta grupa jest nietrywialna, to gdzieś w tym zbiorze siedzi okrąg).
Jeśli mnie się nie uda, to może chociaż ktoś mądrzejszy zdoła dokończyć rozwiązanie tą drogą.

[max]

Ciepło, bardzo ciepło.

Trywialna wskazówka:    

Odwzorowania właściwe są domknięte.