w twójkącie prostokątnym obrano punkt P

[NayaAnarion]

W trójkącie prostokątnym ABC \(\displaystyle{ \left| \sphericalangle C \right| =90}\), wybrano punkt P dla którego trójkąty PAB, PBC i PCA mają równe pola Wiedząc dodatkowo, że \(\displaystyle{ \left| PA\right| ^{2} + \left|PB \right| ^{2}=45}\), oblicz długośc odcinka PC.

[klaustrofob]

punkt P jest po prostu punktem przecięcia środkowych trójkąta ABC - nietrudno wykazać, że tylko on w trójkącie ma tę własność, że pola trójkątów PAB, PBC i PCA mają równe pola. umieśćmy układ współrzędnych tak, żeby jego początek pokrywał się z wierzchołkiem C kąta prostego, a osie były skierowane w kierunku do punktów A i B - niech punkt A ma współrzędne (a, 0), a B=(0,b). wtedy punkt P ma współrzędne (b/3, a/3). czyli mamy zależność \(\displaystyle{ PA^2=(2a/3)^2+(b/3)^2}\) i \(\displaystyle{ PB^2=(2b/3)^2+(a/3)^2}\) oraz \(\displaystyle{ PC^2=(a/3)^2+(b/3)^2}\) dwie pierwsze dodajemy stronami, wyliczamy co trzeba.

wykorzystanie układu jest tu czysto instrumentalne, tak było mi łatwiej wszystko opisać.

[Grzesiek923]

nietrudno wykazać czyli jak?

[OperatorG]

Mogłby to ktos jasniej wyjasnic ?