Srodek ciężkości bryły

[R1990]

Witam. Mam takei zadanie. Obliczyc wspolrzedne srodka ciezkosci bryly o rownaniu \(\displaystyle{ y^{2} =3( x^{2}+ z^{2})}\) ograniczony y=1 i y=3. Wiec jest to paraboloida ograniczona dwoma plaszczyznami. Ze wzgledu na to, ze obszar znajduje sie po dodatniej czesci osi Y, wiec wyciagam dodatni pierwiastek z y kwadrat i to bedzie rownanie mojego obszaru. Jako, ze gestosc bryly nie jest wyszczegolniona ani zalezna od funkcji, wiec na poczatek musze znalezc mase takiego plata. Zamieniam całke powierzchniowa niezorientowana na podwojna. Bedzie wygladac ona tak. \(\displaystyle{ \iint \sqrt{1+ \sqrt{ \frac{9( x^{2}+ z^{2} ) }{3( x^{2}+ z^{2} ) } } } dxdy}\) Teraz zamieniam na wspolrzedne biegunowe. \(\displaystyle{ 1 \le r \le \sqrt{3}}\), \(\displaystyle{ 0\le \alpha \le 2 \pi}\) Do tego jakobian r. Wynik wychodzi mi ze to 4pi. Policzylem teraz juz srdoki ciezkosci x y z. I co ciekawe wspolrzedna x i z wychodz zero ze wzgledu na sin i cosinusa i zakresu kata od zera do 2pi. Ktos moze to zweryfikowac?

[ShedirAchird]

I co ciekawe wspolrzedna x i z wychodz zero ze wzgledu na sin i cosinusa i zakresu kata od zera do 2pi. Ktos moze to zweryfikowac?

Prawidłowo. Te całki powinny wynosić 0, ze względu na symetrię obszaru.

[R1990]

Aha, czyli ok mi wyszlo ;] A moglbys zweryfikowac czy masa plata mi dobrze wyszla?

[ShedirAchird]

Wróć, czekaj... Chodzi o środek ciężkości bryły ograniczonej powierzchniami, czy o środek ciężkości powierzchni? To jest różnica. Raz piszesz masa płata, a raz masa bryły. Płat używa się raczej w odniesieniu do powierzchni.

Masa bryły wynosi \(\displaystyle{ 6 \pi}\).

\(\displaystyle{ M= \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{1}^{3}dy \int_{0}^{ \sqrt{3} } rdr = 2\pi \cdot 2 \cdot \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{ \sqrt{3} } = 6\pi}\)

[R1990]

Zadanie brzmi: Wyznaczyc srodek ciezkosci jednorodnego obszaru V, ograniczonego przez powyzsze plaszczyzny

[ShedirAchird]

Zadanie brzmi: Wyznaczyc srodek ciezkosci jednorodnego obszaru V, ograniczonego przez powyzsze plaszczyzny

Obszar, czyli bryła ograniczona tymi powierzchniami. Masa jest policzona dobrze. Jeszcze trzeba policzyć moment obrotowy. Momenty x i z są równe 0 ze względu na symetrię.

Pozostaje do policzenia całka różniąca się od powyższej tym, ze zawiera dodatkowy y.

\(\displaystyle{ I_y= \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{1}^{3}ydy \int_{0}^{ \sqrt{3} } rdr = ...}\)

Potem dzielisz moment obrotowy przez masę i masz środek ciężkości dla wsp. y.

[R1990]

No to wlasnie tak zrobilem. Tylko u Ciebie nie zgadza sie wspolrzedna r bo zamiast 0 powinno byc 1 ale to juz tak na marginesie ;]

[ShedirAchird]

No to wlasnie tak zrobilem. Tylko u Ciebie nie zgadza sie wspolrzedna r bo zamiast 0 powinno byc 1 ale to juz tak na marginesie ;]

Racja. Pomyłka, ale żaden z nas nie miał racji.

Nowy obszar powinien być taki:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \le \phi \le 2\pi \\ 1 \le y \le 3 \\ 0 \le r \le \frac{y}{ \sqrt{3} } \end{cases}}\)

Całka przyjmuje postać:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{1}^{3}dy \int_{0}^{\frac{y}{ \sqrt{3} }}rdr}\)

[R1990]

Nie rozumiem tego zapisu. Nie moze promien przyjmowac wartosci zera, bo ta objetosc zaczyna sie liczyc jakby od tej plaszczyzny y=1 a nie od wierzcholka paraboloidy czyli w pkt 0,0,0

[ShedirAchird]

Zaraz... narysowałeś dobrze ten obszar?

\(\displaystyle{ y^2=a(x^2+z^2)}\) to stożek wzdłuż osi y. Nie paraboloida.

Myślę, że rysunek wyrazi więcej niż tysiąc słów, masz też wyjaśnienie, dlaczego zakres promienia jest właśnie taki. Gdyby stożek był wydrążony, promień zaczynałby się od wartości różnej od 0.



Być może Twój błąd w rozumowaniu wynika z faktu, że współrzędne walcowe zwykle są zorientowane wzdłuż osi 0Z. Tu są wzdłuż osi 0Y.

P.S. Trochę skopałem rozkład wielkości na rysunku... położenie 1 i 3. Ale to szczegół, nie chciało mi się już poprawiać.

[R1990]

Racja,moj blad z ta paraboloida. Natomiast dalej nie wiem czemu zakres r jest taki a nie jaki podalem
\(\displaystyle{ 1 \le \sqrt{3( x^{2}+ z^{2}) } \le 3}\)

[ShedirAchird]

Racja,moj blad z ta paraboloida. Natomiast dalej nie wiem czemu zakres r jest taki a nie jaki podalem
\(\displaystyle{ 1 \le \sqrt{3( x^{2}+ z^{2}) } \le 3}\)

Przyjrzyj się rysunkowi. Dokładnie drugi wykres to tłumaczy. Pole zakreskowane to to samo pole, które jest zaznaczone tak samo na rysunku, na wykresie przestrzennym.

Promień po którym całkujesz, musi zawierać wartość 0, bo od dołu promień ogranicza sama oś 0Y, która bryłę przecina. Od góry promień jest ograniczony przez tworzącą stożek.

\(\displaystyle{ y^2=3(x^2+z^2)}\)

Podstawienie walcowe

\(\displaystyle{ \begin{cases} z=r\cos \phi\\ x=r\sin \phi \\ y = y\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y^2=3r^2}\)

To jest równanie płaszczyzny bocznej stożka. Natomiast obszar wewnątrz jest określony przez nierówność

\(\displaystyle{ y^2>3r^2}\) lub też

\(\displaystyle{ r< \frac{\left| y\right| }{ \sqrt{3} }}\)

Czyli z równania wynika, że promień od dołu ograniczony jest 0 (bo nie ma ujemnych wartości promienia - taka wartość traci sens), a od góry - funkcją \(\displaystyle{ \frac{y }{ \sqrt{3} }}\)

Nie wiem, jak Ci to dokładniej wytłumaczyć. Gdyby promień zaczynał się od wartości np 1, obszar musiałby zawierać wydrążoną dziurę o promieniu 1 wzdłuż osi 0Y.