wykazać niemierzalność

[ZANETA GDA]

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem niemierzalnym. Określamy \(\displaystyle{ \xi :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ \xi (x) =\begin{cases} 1 \mbox{ gdy } x\in A \\ -1 \mbox{ gdy } x\in\mathbb{R} \setminus A\end{cases}}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ f(x) =\left(\frac{\pi}{2} +\arctan x\right)\cdot \xi (x)}\)
jak wykazać ,że f jest niemierzalna
Z góry dziękuję za pomoc

[szw1710]

Wskazówka. Zastanów się czy funkcja \(\displaystyle{ \xi}\) jest mierzalna?

[ZANETA GDA]

wydaje mi się ,ze skoro A jest niemierzalny to \(\displaystyle{ \xi}\) też nie ale co to mi daje?

[szw1710]

To daje rozwiązanie zadania. Zauważ, że funkcja \(\displaystyle{ g(x)=\frac{\pi}{2} +\arctan x}\) przyjmuje wartości tylko dodatnie (nie zeruje się). Zatem możesz przez nią podzielić. Co wiesz o ilorazie funkcji mierzalnych?

[ZANETA GDA]

Dziękuję za dobre chęci.
Niestety nic mi to nie pomogło.

[szw1710]

Dobrze, gotowca dam. Możesz nie mieć jeszcze doświadczenia w teorii miary. Otóż gdyby \(\displaystyle{ f}\) była mierzalna, to \(\displaystyle{ \frac{f}{g}}\) też byłaby mierzalna jako iloraz funkcji mierzalnych z mianownikiem stale różnym od zera. Jednak \(\displaystyle{ \frac{f}{g}=\xi}\) jest funkcją niemierzalną - sprzeczność.

Wykaż teraz już samodzielnie, że \(\displaystyle{ \xi}\) jest funkcją niemierzalną. Jak chcesz, przedstaw dowód do oceny tutaj na forum.

[ZANETA GDA]

ale wtedy g- musiała by być mierzalna czyż nie? a tego nie wiem.


oo i tu problem jak się wykazuje niemierzalność?oto pytałam .czy z zaprzeczenia warunku na mierzalność czy jak?

i czym się różni niemierzalność a niemierzalność w sensie Lebesgue'a

[szw1710]

Przecież \(\displaystyle{ g}\) jest mierzalna jako funkcja ciągła.

Niemierzalność funkcji \(\displaystyle{ \xi}\) wykaż tu z definicji. Np. z tego, że dla każdego \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\) przeciwobraz \(\displaystyle{ \xi^{-1}\bigl((a,+\infty)\bigr)}\) jest zbiorem mierzalnym. Wybierz taki przedział tego typu, którego przeciwobraz jest zbiorem \(\displaystyle{ A}\), czyli jest niemierzalny.

Można też się powołać na twierdzenie o mierzalności funkcji prostych, ale nie warto. Zauważ, że \(\displaystyle{ \xi}\) jest funkcją prostą.

[ZANETA GDA]

chyba ,że jest niemierzalnym?

z tego tw.
Każda funkcja mierzalna nieujemna jest granicą rosnącego ciągu nieujemnych funkcji prostych mierzalnych.?

[szw1710]

Nie, nie, nie!!! Gdzie tu masz nieujemność? Poza tym to zbyt poważne twierdzenie na tak proste sprawy. I trochę nie do rymu.

Funkcja \(\displaystyle{ \xi}\) jest niemierzalna, gdyż \(\displaystyle{ \xi^{-1}\bigl((0,+\infty)\bigr)=A}\) jest zbiorem niemierzalnym.

A z mierzalnością funkcji prostych jest tak: funkcja prosta \(\displaystyle{ p(x)=\sum_{i=1}^n \alpha_i\chi_{A_i}(x)}\) jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie zbiory \(\displaystyle{ A_1,\dots,A_n}\) są mierzalne. U nas jest

\(\displaystyle{ \xi(x)=1\cdot\chi_{A}(x)+(-1)\cdot\chi_{\mathbb{R}\setminus A}(x)}\)

Jest więc zrozumiałe, że wobec braku mierzalności zbioru \(\displaystyle{ A}\) mamy niemierzalność funkcji \(\displaystyle{ \xi}\).

i czym się różni niemierzalność a niemierzalność w sensie Lebesgue'a

Nie podajesz żadnego sigma-ciała, więc w domyśle przyjmuje się w dziedzinie zbiory mierzalne w sensie Lebesgue'a, a w przeciwdziedzinie też. Funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) mierzalna w sensie Lebesgue'a to taka, że przeciwobrazy zbiorów mierzalnych (L) są mierzalne (L). Wystarczy tu sprawdzić przeciwobrazy szczególnych zbiorów mierzalnych, a mianowicie postaci np. \(\displaystyle{ (a,\infty).}\) Funkcja mierzalna to funkcja mierzalna względem jakiegoś sigma-ciała, które trzeba określić.

W pojęciu mierzalności funkcji istotną rolę gra sigma-ciało zbiorów nazywanych mierzalnymi, ale żadna miara tu nie występuje. Miary potrzeba dopiero przy definicji całki. Całka względem miary w jakinś abstrakcyjnym sigma-ciele czasem nazywana bywa całką Lebesgue'a (tak było na moich wykładach z teroii miary - gdy sam studiowałem). Jednak wolę określenie całka Lebesgue'a na całkę względem miary Lebesgue'a.

[ZANETA GDA]

\(\displaystyle{ \chi_{A_i}}\) indykator??

\(\displaystyle{ \left\{ {A_i} \right\} _{i=1} ^{n}}\) -rozbicie
zgadza się?

[szw1710]

Tak - zgadza się.

[ZANETA GDA]

a mam jeszcze jedno pytanko


\(\displaystyle{ \chi(x)=}\)\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 &:\;x\in A\\0 &:\; x \not\in A \end{cases}}\)
tak?

[szw1710]

Tak. LaTeX popraw.

[ZANETA GDA]

a gdybym w moim zadaniu miała wykazać niemierzalność f w sensie lebesque'a to jakby to wyglądało?