Kolejność, współrzędne walcowe

[astutus]

Witam, mam pytanie czy przy współrzędnych walcowych kolejność ma znaczenie tzn. mamy taką sytuację:
\(\displaystyle{ 0 \le \varphi \le 2 \pi \\
0 \le r \le 4 \\
0 \le h \le 2r}\)
to czy możemy zapisać:
\(\displaystyle{ 0 \le \varphi \le 2 \pi \\
0 \le h \le 8\\
0 \le r \le \frac{h}{2}}\)
W sensie zamienić kolejność w całkach iterowanych.

[chris_]

Można, tak samo jak można zamieniać kolejność w całkach na współrzędnych kartezjańskich.

[astutus]

Zastanawiam się bo mam policzyć masę pozostałej części walca wyciętej stożkiem:
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} \le 16 \\
0 \le z \le 2 \cdot \sqrt{ x^{2} + y^{2} }}\)
Gdzie gęstość jest funkcją:
\(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2}}\)
Czyli mam całkę:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } d \varphi \int_{0}^{8} dh \int_{0}^{ \frac{h}{2} } r^{3} dr}\)
I wychodzi mi:
\(\displaystyle{ \frac{1024}{5} \pi}\)
A w odpowiedziach wychodzi wynik 4 razy większy przy czym oni całkowali najpierw h potem r (tak jak w pierwszym poście, pierwszy zakres zmiennych)

[chris_]

dopiero teraz sprawdziłem, wybacz

źle zamieniłeś kolejność całkowania, narysuj sobie tą bryłę:
\(\displaystyle{ T=\left\{ (r,\varphi,h): r\in \left[ 0,4\right], \varphi \in (0, 2\pi), h \in \left[ 0,2r\right] \right\}}\)
traktując \(\displaystyle{ r,\varphi, h}\) jak x,y,z w układzie kartezjańskim, wtedy zobaczysz, że prawidłowe przekształcenie wygląda tak:

\(\displaystyle{ 0 \le \varphi \le 2\pi \\
0 \le h \le 8 \\
\frac{h}{2} \le r \le 4}\)

teraz wynik się zgadza

nie wiem tylko po co chcesz koniecznie zamieniać te zmienne

[astutus]

Fakt, głupi błąd.

[chris_]

nie chodziło mi o zamianę układu współrzędnych tylko o zmianę kolejności, która jest raczej bezcelowa i tylko utrudnia obliczenia

[astutus]

Sorry ale jak zrozumiałem o co ci chodzi to zedytowałem posta. Jak robiłem zadanie to nie patrzyłem czy w tej kolejności się łatwiej liczy. Jak wyszedł mi zły wynik sprawdziłem jak oni to zrobili i zauważyłem, że całkowali w innej kolejności i pomyślałem, że to jest powód błędu. W końcu jednak wyszło, że po prostu źle zrobiłem zamianę na współrzędne walcowe. Patrzyłem na wszystkie przykłady jakie miałem i wszędzie robili w kolejności fi -> r -> h i zastanawiałem się czy to ma jakieś znaczenie, jak widać nie. Więc wcale nie było moim zamiarem zamiana kolejności zmiennych już w wsp. walcowych.

[chris_]

"domyślną" kolejnością całkowania jest \(\displaystyle{ h \rightarrow r \rightarrow \varphi}\), wtedy prawie zawsze masz przedziały od 0, inaczej wychodzą właśnie takie wynalazki

[astutus]

No miałem na myśli właśnie tą kolejność w tych przykładach, a nie jak napisałem na odwrót :]