Zadania z kolokwium- kombinatoryka

[akinom164]

Potrzebuję pomocy przy tych zadanich. Z góry dziękuje.

1. W rajdzie pieszym maszeruje grupa 9 młodzieży składająca się z 5 dziewcząt i 4 chłopców. Wszyscy maszerują "gęsiego". Ile jest róznych spspobów usawienia sie jeżeli:

a) pierwsze idą dziewczęta, a za nim dopiero wszyscy chłopcy
b) chłopcy nie sąsiadują z chłopcami, a dziewczęta z dziewczynami
c) ustawienie w kolumnie jest dowolne
Podaj odpowiedzi na powyższe pytania w sytuacji ogólnej tj. gdy grupa mszerujących osób złożona jest z n+1 dziewcząt i z n chłopców.

2. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w wyrazie ułożonym w losowy sposób ze wszystkich liter wyrazu ARABESKA samogłoski będą sąsiadowały tylko ze spółgłoskami ?


3. W poczekalni u lekarza w rzędzie z n krzeseł siedzi k pacjętów, w kolejności od lewej do prawej tak, że obok każdego z nich są co najmniej 2 wolne krzesła- jedno po prawej, a drugie po lewej stronie. Na ile sposobów można wybrać taki zbiór k krzeseł zajmowanych przez pacjętów?

[mat_61]

A masz jakieś pomysły na rozwiązanie? Próbowałaś coś robić z tymi zadaniami?

Wskazówka:

1a oraz 1b - tutaj miejsca dziewcząt i chłopców są z góry ustalone, czyli mamy iloczyn permutacji.

1c - to jest chyba oczywiste

2 - masz 8 liter w tym 4 spółgłoski (x) i 4 samogłoski (y). Wszystkie możliwe wyrazy, to permutacje z powtórzeniami. Jeżeli samogłoski muszą sąsiadować ze spółgłoskami, to układ musi być taki:

-y+y+y+y-

gdzie w miejscu "+" musi być dołożony co najmniej jeden element x, a w miejscu "-" może być dołożony element x.

[akinom164]

Jeśli chodzi o te pierwsze to tylko nie potrafie tego policzyć w postaci ogólnej tzn gdy jest n+1 dziewcząt i n chłopców.

Po Twoich wskazówkach z drugim teraz już też sobie poradzę. Wielkie dzieki.

A co do trzeciego to nadal nie mam pojęcia jak je zrobić

[mat_61]

1) Jak rozwiązałaś to zadanie dla 5 dziewcząt i 4 chłopców, to teraz wstaw do tych rozwiązań (n+1) w miejsce 5 oraz n w miejsce 4.

[akinom164]

I tylko tak. Myślałam, że to bardziej skąplikowane. Dzieki.

[mat_61]

Akurat w tym przypadku tak (choć musiałbym widzieć Twoje rozwiązanie, żeby mieć pewność) ale bardzo często tak niestety nie będzie (rozwiązanie ogólne nie będzie "prostym przetworzeniem" rozwiązania szczegółowego).

W tym konkretnym zadaniu mamy "specyficzne" dane bo w obydwu przypadkach dziewcząt jest zawsze o 1 więcej niż chłopców, czyli dla przykładu b) musi być taki układ:

D-C-D-C-D-C-D-C-D

Dla danych ogólnych szereg także będzie się zaczynał i kończył dziewczyną, czyli miejsca dziewczyn i chłopców są z góry ustalone i mamy, albo \(\displaystyle{ 5! \cdot 4!}\), albo \(\displaystyle{ (n+1)! \cdot n!}\). Natomiast w innych sytuacjach tak wcale być nie musi.

[akinom164]

Dzięki wielkie, bardzo mi pomogły Twoje wskazówki.