Udowodnić nierówność

[Marien]

Mam problem z takim zadaniem: Pokazać że \(\displaystyle{ ln\left( 1+x\right)> \frac{arctgx}{1+x}}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\).
Liczyłam najpierw pochodną z funkcji \(\displaystyle{ f\left( x\right)= ln\left( 1+x\right)- \frac{arctgx}{1+x}}\). Wyszło mi, że \(\displaystyle{ f'\left( x\right)= \frac{x+arctgx}{\left( 1+x\right) ^{2} }}\).

[przemk20]

\(\displaystyle{ f'(x) > 0, \ \ x> 0 \\
f(0) = 0}\)
zatem f(x) > 0, dla x > 0

[Dasio11]

Coś się ta pochodna nie zgadza.

[adambak]

to racja.. jak na moje oko powinno być:

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{1+x} - \frac{ \frac{x+1}{x^{2}+1} - \arctan x }{(1+x)^{2}}}\)

no i tam uprościć trzeba, ale nijak nie wychodzi tak prosto jak w pierwszym poście..

[norwimaj]

Chyba łatwiej jest tę nierówność udowodnić w tej postaci:

\(\displaystyle{ \ln\left( 1+x\right)>\frac{x}{1+x} >\frac{\arc\tg x}{1+x}}\).

Ale skoro zadanie jest umieszczone w dziale "rachunek różniczkowy", to być może nie jest to to, o co chodzi.