Całka wyrażenia zapisanego pod pierwiastkiem

[Inspector]

Witam wszystkich. Mam problem z całkami zapisanymi pod pierwiastkiem, nie wiem jak rozłożyć np. takie całki:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1- sin^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1+4x ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1+ sh^{2}x }}\)

Był bym bardzo wdzięczny jeśli ktos wytłumaczył by mi na tych 3 przykładach jak wyciągnąć całkę z wyrażenia zapisanego pod pierwiastkiem. Naprawdę mam z tym duży problem,a w podręcznikach które posiadam nie znalazłem przykładu który był by rozpisany aż tak szczegółowo

[Ciamolek]

W pierwszym skorzystaj z faktu, że:
\(\displaystyle{ sin^{2}x+cos^{2}x=1}\)

Pozdrawiam,
Ciamolek

[kipero]

Pytasz o pochodnie, a zapisałeś to tak jakby chodziło o całki.
Przechodząc do pytania. Pochodną złożenia \(\displaystyle{ g \circ f}\) jest \(\displaystyle{ g'(f(x)) f'(x)}\).
Przedstawię na pierwszym przykładzie:
\(\displaystyle{ (\sqrt{1 - sin^{2}x})' = \frac{1}{2\sqrt{1 - sin^{2}x}} (1 - sin^{2}x)' = \frac{1}{2\sqrt{1 - sin^{2}x}} (0 - 2sinx (sinx)') = - \frac{sinx cosx}{\sqrt{1 - sin^{2}x}} = - \frac{sin2x}{2 \sqrt{1 - sin^{2}x}}}\)

[Inspector]

Pytasz o pochodnie, a zapisałeś to tak jakby chodziło o całki.


Sory za pomyłkę chodzilo mi o całki

[alfgordon]

2) metoda współczynników nieoznaczonych

\(\displaystyle{ \int \sqrt{1+4x ^{2} }dx =\int \frac{1+4x^2 }{\sqrt{1+4x^2}} dx= (ax+b)\sqrt{1+4x^2} +K \int \frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}}\)

różniczkujesz stronami, mnożysz przez pierwiastek i wyliczasz \(\displaystyle{ a,b,K}\)

potem tą całkę (\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}}\)) liczysz za pomocą pierwszego podstawienie Eulera