Pochodna II rzędu

[Anka20]

Rozwiązałam troche ale nie wiem czy dobrze:

\(\displaystyle{ f(x)= \arccos x}\) - obliczyć pochodną II rzędu

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{-1}{ \sqrt{1-x ^{2} } } \\ \\
f''(x)= \left( \frac{-1}{ \sqrt{1-x^2} } \right)'= \frac{ -1' \sqrt{1- x^2}+1 \left( \sqrt{1- x^2} \right)' } {1- x^2 }= \frac{ \left( \sqrt{1- x^2 } \right)' }{ 1- x^2 }= \frac{ \left[ \left( 1-x^2 \right)^{ \frac{1}{2} } \right] ' }{1- x^2 }=~\text{nie wiem co dalej}}\)

[cosinus90]

\(\displaystyle{ \frac{[(1-x ^{2} )^{ \frac{1}{2} }]'}{1- x^{2} }= \frac{( 1^{ \frac{1}{2} } -x)' }{1- x^{2}}}\)

To przejście jest błędne, potęga różnicy nie jest równa różnicy potęg.

[Anka20]

Wiec jak to ma byc

[zyjseprosto]

Na moje oko:
Skoro \(\displaystyle{ f'= \frac{-1}{ \sqrt{1-x^2} }}\) to \(\displaystyle{ f''= \frac{1 \cdot \frac{1 \cdot (-2x)}{2 \sqrt{ 1-x^2}} }{1-x^2} = \frac{-x}{ \sqrt{1-x^2} \cdot (1-x^2)}}\)

[Luxy]

\(\displaystyle{ ( \frac{-1}{ \sqrt{1-x ^{2} } } )'= -[ (1-x ^{2})^{-1/2}]' = -[-\frac{1}{2} \cdot (1-x ^{2})^{-1/2-1} \cdot (-2x)] = -\frac{x}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}}\)