Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 19 gru 2007, o 19:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Pomógł: 5 razy
Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie
Dziś odbył się ten konkurs. Zamieszczam z niego trudniejsze (moim zdaniem) zadania i proszę o jakieś wskazówki:
1. Obliczyć:
\(\displaystyle{ tan^6(20^o)-33 tan^4(20^o)+27 tan^2(20^o)}\)
2. Wyznaczyć takie trójki \(\displaystyle{ x, y, z \in N}\), że \(\displaystyle{ x^2+1}\) i \(\displaystyle{ y^2+1}\) są liczbami pierwszymi oraz \(\displaystyle{ (x^2+1)(y^2+1)=z^2+1}\)
Podpowiedzi mile widziane
1. Obliczyć:
\(\displaystyle{ tan^6(20^o)-33 tan^4(20^o)+27 tan^2(20^o)}\)
2. Wyznaczyć takie trójki \(\displaystyle{ x, y, z \in N}\), że \(\displaystyle{ x^2+1}\) i \(\displaystyle{ y^2+1}\) są liczbami pierwszymi oraz \(\displaystyle{ (x^2+1)(y^2+1)=z^2+1}\)
Podpowiedzi mile widziane
-
- Użytkownik
- Posty: 874
- Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wszedzie
- Podziękował: 248 razy
- Pomógł: 10 razy
Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie
1.
\(\displaystyle{ \sqrt{3} =tg60^o=tg(40^o+20^o)}\)
i wzory teraz
\(\displaystyle{ tg( \alpha + \beta) = {\frac{{tg \alpha + tg \beta}}{{1 - tg \alpha tg \beta}}}}\)
\(\displaystyle{ tg 2x = \frac{2tgx}{1- tg^2x}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3} =tg60^o=tg(40^o+20^o)}\)
i wzory teraz
\(\displaystyle{ tg( \alpha + \beta) = {\frac{{tg \alpha + tg \beta}}{{1 - tg \alpha tg \beta}}}}\)
\(\displaystyle{ tg 2x = \frac{2tgx}{1- tg^2x}}\)
Ostatnio zmieniony 14 kwie 2011, o 19:18 przez darek20, łącznie zmieniany 1 raz.
Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie
2. Mozna zastanowic sie nad tym gdyby \(\displaystyle{ z}\) bylo nieparzyste. Wtedy prawa strona jest parzysta. Po lewej mamy iloczyn dwoch liczb pierwszych i trzeba zastanowic sie nad tym kiedy taki iloczyn jest parzysty
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 19 gru 2007, o 19:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Pomógł: 5 razy
Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie
1. No przy zastosowaniu tych wzorów otrzymuję równanie kwadratowe z którego mogę otrzymać wartość tg20, a potem podstawić, ale to kupa roboty. Nie ma jakiegoś sprytniejszego rozwiązania?
2. Niestety nic więcej nie zostało powiedziane, a jeśli nawet \(\displaystyle{ z}\) byłoby nieparzyste to i tak nie byłoby łatwo wyznaczyć rozwiązania albo wykluczyć ich istnienie (chyba).
2. Niestety nic więcej nie zostało powiedziane, a jeśli nawet \(\displaystyle{ z}\) byłoby nieparzyste to i tak nie byłoby łatwo wyznaczyć rozwiązania albo wykluczyć ich istnienie (chyba).
Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie
Dla zalozenia ze \(\displaystyle{ z}\) jest nieparzyste otrzymujesz \(\displaystyle{ x^2+1 = 2 \ \vee \ y^2+1=2}\).przemon pisze: 2. Niestety nic więcej nie zostało powiedziane, a jeśli nawet \(\displaystyle{ z}\) byłoby nieparzyste to i tak nie byłoby łatwo wyznaczyć rozwiązania albo wykluczyć ich istnienie (chyba).
Mozliwosc gdy \(\displaystyle{ z}\) jest parzyste trzeba rozwazyc oddzielnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 1114
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 157 razy
Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie
Wykaż, że dla każdego (rzeczywistego) \(\displaystyle{ n>1}\) i \(\displaystyle{ a \ge 0}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (1+a)^{n} \ge 1+na+\frac{(n-1)n}{2}a^{2}}\)
Proszę o wskazówkę.
\(\displaystyle{ (1+a)^{n} \ge 1+na+\frac{(n-1)n}{2}a^{2}}\)
Proszę o wskazówkę.
Ostatnio zmieniony 14 kwie 2011, o 19:19 przez Mruczek, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 874
- Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wszedzie
- Podziękował: 248 razy
- Pomógł: 10 razy
Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie
nie trzeba wyliczac \(\displaystyle{ tg20^o}\) , tam nie powstanie równanie kwadratowe tylko równanie trzeciego stopniaprzemon pisze:1. No przy zastosowaniu tych wzorów otrzymuję równanie kwadratowe z którego mogę otrzymać wartość tg20, a potem podstawić, ale to kupa roboty. Nie ma jakiegoś sprytniejszego rozwiązania?
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 19 gru 2007, o 19:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Pomógł: 5 razy
Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie
To, to wiem Ale jak załóżmy \(\displaystyle{ x^2+1 = 2}\) to musisz jeszcze wyznaczyć lub wskazać, że nie istnieją \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\), a nie wiem czy to jest takie łatwe, poza tym to tylko gdybanie - w treści nie ma nic o nieparzystościostryo pisze:Dla zalozenia ze \(\displaystyle{ z}\) jest nieparzyste otrzymujesz \(\displaystyle{ x^2+1 = 2 \ \vee \ y^2+1=2}\).przemon pisze: 2. Niestety nic więcej nie zostało powiedziane, a jeśli nawet \(\displaystyle{ z}\) byłoby nieparzyste to i tak nie byłoby łatwo wyznaczyć rozwiązania albo wykluczyć ich istnienie (chyba).
Mozliwosc gdy \(\displaystyle{ z}\) jest parzyste trzeba rozwazyc oddzielnie.
darek20,
Racja, błąd wynika z tego, że bezmyslnie ppodstawiałem do wzorów które napisałeś, a nie zauważyłem, że jeden z nich jest błędnie zapisany, zaraz przeliczę jeszcze raz.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie
Mruczek pisze:Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ n>1}\) i \(\displaystyle{ a \ge 0}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (1+a)^{n} \ge 1+na+\frac{(n-1)n}{2}a^{2}}\)
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 1114
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 157 razy
Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie
przemon pisze:2. Wyznaczyć takie trójki \(\displaystyle{ x, y, z \in N}\), że \(\displaystyle{ x^2+1}\) i \(\displaystyle{ y^2+1}\) są liczbami pierwszymi oraz \(\displaystyle{ (x^2+1)(y^2+1)=z^2+1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 19 gru 2007, o 19:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Pomógł: 5 razy
Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie
chyba ktoś przesadził... (szczególnie, że konkurs odbywał się w ten sam dzień, co drugi dzień zawodów III stopnia OM )