przestrzen topologiczna

[adam1255]

Niech Y bedzie zwartą przestrzenią topologiczną, a \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) funkcja ciągła. Pokazać, że istnieje niepusty podzbiór domknięty \(\displaystyle{ A \subset Y}\)taki, że f(A)=A

[Zordon]

Możesz kombinować tak:
\(\displaystyle{ f(X)}\) zwarty
zatem \(\displaystyle{ f(f(X))}\) też domknięty i zwarty (i oczywiście niepusty)
Weźmy więc \(\displaystyle{ A= \bigcap_{k=1}^{\infty}f^k(X)}\)
\(\displaystyle{ f^k}\) to k-krotne złożenie f ze sobą

Teraz trzeba sprawdzić, że działa, co nie jest takie oczywiste, trzeba korzystać ze zwartości.

[adam1255]

A czy ktoś mógłby mi to bardziej rozpisać? bo nie wiem jak to zrobic:/

[przemk20]

Tutaj \(\displaystyle{ X \neq Y.}\)
dlaczego \(\displaystyle{ f(X)}\) jest domkniety ?
I lepiej to robic przez przeciwobraz

[Zordon]

Przypuszczam, że jednak ma być \(\displaystyle{ X=Y}\).
\(\displaystyle{ f(X)}\) jest zbiorem zwartym zatem domkniętym.
Ale chętnie zobaczę rozumowanie z przeciwobrazami.

[adam1255]

Mozecie coś bliżej napisać o tym rozwiązaniu? bo niestety nic mi to nie dało

[przemk20]

Weźmy więc \(\displaystyle{ A= \bigcap_{k=1}^{\infty}f^k(X)}\)
\(\displaystyle{ f^k}\) to k-krotne złożenie f ze sobą

To nie pojdzie:
Mozna pokazac, ze \(\displaystyle{ f^k(X)}\) jest zstepujacy, zatem A jest niepusty domkniety i zwarty.
Problem natomiast jest z tym czy f(A) = A, bo funkcje z reguly niezachowuja przekroju przez obraz!!.
Drugi problem to to, ze \(\displaystyle{ f^{-1} f (A) \neq A}\)
Dlatego definicja przez przeciwobraz jest pod tym wzgledem lepsza.

Wtedy \(\displaystyle{ A = \bigcap_{k=0}^{\infty}f^{-k}(X)}\)
A - domkniety i zwarty, \(\displaystyle{ f^{-1}(X) \subseteq X \Rightarrow f^{-(k+1)}(X) \subseteq f^{-k}(X)}\) rodzina zstepujaca zb. dom. i zw. zatem A jest niepusty.
Niech \(\displaystyle{ B = f^{-1}(A) = A.}\)
wtedy \(\displaystyle{ f(B) = f (f^{-1}(A)) = A = B.}\) bo \(\displaystyle{ f(f^{-1}(A)) = A}\) zawsze
Tutaj nie moge wziac po prostu f(A), bo obraz nie zachowuje przekroju o czym pisalem juz o tym wyzej.

[Zordon]

To nie pojdzie:
Mozna pokazac, ze \(\displaystyle{ f^k(X)}\) jest zstepujacy, zatem A jest niepusty domkniety i zwarty.
Problem natomiast jest z tym czy f(A) = A, bo funkcje z reguly niezachowuja przekroju przez obraz!!.

Racja, ale tutaj sytuacja jest specjalna, i równość \(\displaystyle{ f(A)=A}\) zachodzi ponieważ jedna inkluzja \(\displaystyle{ A\subseteq f(A)}\) jest gwarantowana przez zwartość zaś \(\displaystyle{ f(A)\subseteq A}\) wynika z własności obrazu przekroju.

Drugi problem to to, ze \(\displaystyle{ f^{-1} f (A) \neq A}\)

Hmm, czy to jest nam do czegoś potrzebne?

bo \(\displaystyle{ f(f^{-1}(A)) = A}\) zawsze

Tutaj będę protestował

[adam1255]

Panowie wasza rozmowa jest ciekawa, ale to w końcu jak? bo ja juz zgłupiałem

[przemk20]

bo \(\displaystyle{ f(f^{-1}(A)) = A}\) zawsze

Tutaj będę protestował

Spojrz na definicje przeciwobrazu

To pokaz inkluzje, ktora wynika z zwartosci

[xiikzodz]

Niech \(\displaystyle{ X=Y=\{0,1\}}\) z topologią dyskretną oraz niech \(\displaystyle{ f:\{0,1\}\to\{0,1\}}\) będzie dana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=0}\). Wówczas \(\displaystyle{ f^{-n}(X)=X}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) - "z definicji przeciwobrazu". Tym niemniej \(\displaystyle{ f(X)\neq X}\).

[adam1255]

To ja juz przepraszam, które rozwiazanie jest poprawne ?:(

[przemk20]

Niech \(\displaystyle{ X=Y=\{0,1\}}\) z topologią dyskretną oraz niech \(\displaystyle{ f:\{0,1\}\to\{0,1\}}\) będzie dana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=0}\). Wówczas \(\displaystyle{ f^{-n}(X)=X}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) - "z definicji przeciwobrazu". Tym niemniej \(\displaystyle{ f(X)\neq X}\).

Tak masz racje:
Dla \(\displaystyle{ A \subseteq f(X)}\) powinno juz to dzialac.
Moj dowod jest narazie dziurawy. Pózniej sprobuje poprawic

[xiikzodz]

To może spiszę rozwiązanie Zordona (zakładam, że \(\displaystyle{ X}\) jest Haussdorffa).

Niech \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{A_n:n\in\mathbb{N}\}}\) będzie rodziną podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) zdefiniowaną:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{lcc}A_0=X\\
A_{n+1}=f(A_n).\end{array}\right.}\)

Dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) zachodzi co następuje:

\(\displaystyle{ A_{n+1}\subseteq A_n}\)

\(\displaystyle{ A_n}\) jest domknięty (zwarty) jako ciągły obraz zbioru zwartego.

Stąd zbiór:

\(\displaystyle{ A=\bigcap\mathcal{A}}\)

jest niepusty (zwartość \(\displaystyle{ X}\)) i domknięty (zwarty).

Co więcej, dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) mamy:

\(\displaystyle{ A\subseteq A_n}\)

skąd:

\(\displaystyle{ f(A)\subseteq f(A_n)=A_{n+1}}\)

i wobec tego:

\(\displaystyle{ f(A)\subseteq \bigcap\mathcal{A}=A}\).

Można oczywiście skorzystać z \(\displaystyle{ ''f\bigcap\subseteq \bigcap f''}\).

Niech teraz \(\displaystyle{ a\in A}\). Zauważmy, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\):

\(\displaystyle{ f^{-1}(a)\cap A_n\neq\emptyset}\)

bo dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\)

\(\displaystyle{ a\in A_{n+1}=f(A_n)}\).

Zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}(a)}\) jest domknięty, więc (znowu wykorzystujemy zwartość):

\(\displaystyle{ \bigcap_{n\in\mathbb{N}}f^{-1}(a)\cap A_n\neq\emptyset}\).

Niech więc

\(\displaystyle{ b\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}f^{-1}(a)\cap A_n=f^{-1}(a)\cap\bigcap\mathcal{A}=f^{-1}(a)\cap A}\).

Wówczas \(\displaystyle{ f(b)=a}\) i wobec tego \(\displaystyle{ a\in f(A)}\), skąd a stąd \(\displaystyle{ A\subseteq f(A)}\), co w połączeniu z poprzednio wykazanym zawieraniem \(\displaystyle{ f(A)\subseteq A}\) daje \(\displaystyle{ A=f(A)}\).