wyznaczyć normę odwzorowania liniowego

[Ryland]

\(\displaystyle{ T:C([0,1]) \rightarrow \Re}\)

\(\displaystyle{ T(f)= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1) ^{n} }{2 ^{n} }f( \frac{1}{n} )}\)

Potrzebuję jakiegoś szkicu , skąd wiedzieć jaką normę ma argument , a jaką wartość ( nie podali) i jak po kolei to robić ...

[szw1710]

Metodę masz w moim poście w Twoim poprzednim temacie 248746.htm

W dziedzinie mamy normę supremum: \(\displaystyle{ \|f\|=\sup\{|f(x)|:0\le x\le 1\}.}\) Do obliczenia normy mamy więc do rozważenia wszystkie funkcje ciągłe \(\displaystyle{ f:[0,1]\to\mathbb{R}}\) o normie \(\displaystyle{ 1}\), tj. takie, że \(\displaystyle{ -1\le f(x)\le 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in[0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ |f(x_f)|=1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x_f\in[0,1]}\) (zależnego od funkcji \(\displaystyle{ f}\)). Teraz obliczamy sumę szeregu \(\displaystyle{ T(f)}\), a tak naprawdę szacujemy moduł sumy tego szeregu.

Licząc w pamięci oszacowanie modułu sumy szeregu wychodzi mi równe \(\displaystyle{ 1}\) (suma szeregu geometrycznego, moduł sumy szeregu nie większy od sumy modułów, moduł wartości funkcji nie przekracza \(\displaystyle{ 1}\)). Oznacza to, że \(\displaystyle{ \|T\|\le 1}\).

Edit To co poniżej nie jest poprawne - zob. poniższa dyskusję, w której też można znaleźć właściwe wyjaśnienie.

Teraz biorąc funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\cos(n^2\pi x)}\) mamy, że \(\displaystyle{ f\in C([0,1])}\), \(\displaystyle{ \|f\|=1}\) (dlaczego?) oraz \(\displaystyle{ f\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)=\cos n\pi=(-1)^n}\). Z tego względu mamy \(\displaystyle{ T(f)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}(-1)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=1}\). Świadczy to o tym, że \(\displaystyle{ \|T\|=1}\).

[przemk20]

\(\displaystyle{ f\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)=\cos n\pi=(-1)^n}\). Z tego względu mamy \(\displaystyle{ T(f)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}(-1)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=1}\)

Przy liczeniu normy zmieniasz n, a w definicji \(\displaystyle{ f}\) n jest stale. Idea jest dobra, tylko tak latwo z jedna funkcja nie wyjdzie. Latwo widac, ze istnieje funkcja ciagla \(\displaystyle{ f_N,}\) ktora w punktach \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}}\) przyjmuje wartosc 1, a w punktach \(\displaystyle{ \frac{1}{2n+1}}\) wartosc -1, przy czym\(\displaystyle{ n < N}\), wtedy \(\displaystyle{ T(f_N) \rightarrow 1.}\)
Nalezy tutaj zwrocic uwage, że funkcja graniczna \(\displaystyle{ f = \lim_N f_N}\) nie jest ciagla w 0,wiec nie mozna wziac tej funkcji. Przykladowo \(\displaystyle{ f(x) = sin(\frac{C}{x}+D).}\)

[szw1710]

Przy liczeniu normy zmieniasz n, a w definicji f n jest stale.

Co racja, to racja Dziękuję za zwrócenie uwagi.

Na przyklad \(\displaystyle{ f(x) = \sin(\frac{C}{x}+D).}\)

Ale ta nie jest nawet w zerze określona

Niestety ze względu na obecność \(\displaystyle{ (-1)^n}\) w definicji operatora nie przejdzie zabieg z funkcją stale równą \(\displaystyle{ 1}\).

Ale czekaj - z Twojego pomysłu widać, że funkcja graniczna nie jest potrzebna. Przecież to dowodzi, że supremum wartości \(\displaystyle{ |T(f_N)|}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\), a więc \(\displaystyle{ \|T\|=1}\) (jako supremum po większym zbiorze, a wcześniej wykazałem, że \(\displaystyle{ \|T\|\le 1}\)).

[przemk20]

Dokładnie \(\displaystyle{ f}\) nam jest nie potrzebna. Chciałem pokazać przykład funkcji \(\displaystyle{ f}\), dla której hipotetycznie \(\displaystyle{ T(f) = 1}\). Tylko w naszej przestrzeni nie znajdziemy funkcji dla której \(\displaystyle{ T(f) = 1}\), bo wtedy ona będzie nieciągła w zerze.

[szw1710]

Ty podałeś przykład ciągu takiego, że funkcja graniczna nie jest ciągła w zerze. Owszem, hipoteza z nieistnieniem funkcji \(\displaystyle{ f}\), dla której \(\displaystyle{ T(f)=1}\), ma ręce i nogi. Wydaje mi się jednak, że wymagałoby to dowodu. Ale to taka uwaga na marginesie, bo wspólnymi siłami obliczyliśmy tę normę, o której mowa w zadaniu.

[przemk20]

Niewprost:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2n}, \frac{1}{2n+1} \rightarrow 0. \\
f(\frac{1}{2n}) = 1 \rightarrow 1 , \ \ f(\frac{1}{2n+1}) = -1 \rightarrow -1 \\}\)
Zatem f nie jest ciagla w 0

[szw1710]

Tak, ale to wciąż dowód dla tej konkretnej funkcji granicznej. Mi chodziło o to, że postawiłeś hipotezę, że w całej przestrzeni \(\displaystyle{ C([0,1])}\) nie istnieje funkcja \(\displaystyle{ f}\) o normie \(\displaystyle{ 1}\), dla której ten konkretny operator ma wartość \(\displaystyle{ 1}\), czyli, że zachodzi implikacja:

\(\displaystyle{ (f\in C([0,1])\wedge \|f\|=1)\;\implies\;T(f)\ne 1.}\)

To moim zdaniem wymaga dowodu.

[przemk20]

Zauważ, że z zalozen i zakladajac niewprost, ze \(\displaystyle{ T(f) = 1}\) mamy \(\displaystyle{ f(\frac{1}{2n}) = 1, f(\frac{1}{2n+1}) = -1}\)
A z tego juz (patrz poprzedni post) \(\displaystyle{ f \notin C([0,1])}\) sprzecznosc.
Czyli to co trzeba

[szw1710]

Z tą funkcją graniczną doskonale rozumiem argument. Ale moje luźne pytanie dotyczyło funkcji dowolnej. Ta funkcja o której piszesz jest funkcją graniczną w Twojej konstrukcji - mi chodziło o dowolną i żeby pokazać, że jeśli ma normę 1 (i jest oczywiście ciągła), to ten operator nie przyjmie na niej wartości 1. To nieco inny problem, ale moim zdaniem interesujący.

Zauważ, że z zalozen i zakladajac niewprost, ze \(\displaystyle{ T(f) = 1}\) mamy \(\displaystyle{ f(\frac{1}{2n}) = 1, f(\frac{1}{2n+1}) = -1}\)

Jakoś tego nie widzę. Nie wiem czy postać operatora \(\displaystyle{ T}\) implikuje tę własność.

[przemk20]

Nie wiem, dlaczego sadzisz, ze moje rozumowanie jest tylko dla funkcji granicznej ?
To jest dla dowolnej funkcji takiej, ze: \(\displaystyle{ \|f\| = 1}\) i f ciagla i potem idzie dowod nie wprost.
Ja tutaj zapomminam o konstrukcji

[szw1710]

Przeanalizuję to dokładniej i ewentualnie później podyskutujemy. Teraz muszę kończyć.

-- 11 kwi 2011, o 08:56 --

Jednego mi brakuje:

Mamy \(\displaystyle{ T(f)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}f\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr).}\)

Teraz zakładamy, że dla jakiejś funkcji \(\displaystyle{ f:[0,1]\to\mathbb{R}}\) takiej, że \(\displaystyle{ |f(x)|\le 1}\), \(\displaystyle{ x\in[0,1],}\) jest \(\displaystyle{ T(f)=1}\), czyli, że

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}f\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)=1.}\)

Brakuje mi (nie widzę tego jeszcze), dlaczego stąd wynika, że

\(\displaystyle{ (1)\qquad\qquad f\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)=(-1)^n\quad\text{dla każdego }n\in\mathbb{N}.}\)

To jest oczywiście własność, o której piszesz, zapisana jednym wzorem.

Na odwrót, jeśli zachodzi (1), to \(\displaystyle{ T(f)=1}\) Ale czemu z tego, że \(\displaystyle{ T(f)=1}\), wynika (1), tego nie widzę.

Chyba zdefiniowałem, z czym mam tu kłopot.

Może tak:

Jeśli \(\displaystyle{ f\Bigl(\frac{1}{2n}\Bigr)<1}\), dla pewnego \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ \frac{(-1)^{2n}}{2^{2n}}f\Bigl(\frac{1}{2n}\Bigr)<\frac{(-1)^{2n}}{2^{2n}}.}\) Suma szeregu z lewej będzie więc mniejsza niż suma szeregu geometrycznego o ilorazie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) (czyli 1), więc musiałoby być \(\displaystyle{ T(f)<1}\) wbrew przypuszczeniu, więc \(\displaystyle{ f\Bigl(\frac{1}{2n}\Bigr)=1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\).


Podobnie jeśli \(\displaystyle{ f\Bigl(\frac{1}{2n+1}\Bigr)>-1}\), dla pewnego \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ \frac{(-1)^{2n+1}}{2^{2n+1}}f\Bigl(\frac{1}{2n+1}\Bigr)<\frac{(-1)^{2n+2}}{2^{2n+1}}=\frac{1}{2^{2n+1}}.}\) i znów suma szeregu z lewej będzie więc mniejsza niż 1, więc musiałoby być \(\displaystyle{ T(f)<1}\) wbrew przypuszczeniu, więc \(\displaystyle{ f\Bigl(\frac{1}{2n+1}\Bigr)=-1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\).

Podobną metodą wykażemy też, że nie istnieje \(\displaystyle{ f\in C([0,1])}\), dla której \(\displaystyle{ T(f)=-1}\). Więc omawiany operator ma normę 1, lecz jej nie osiąga.

PS. Takie dyskusje są budujące.

[szw1710]

Dodam pewną uwagę do starego posta

Roważany funkcjonał \(\displaystyle{ T:C([0,1])\to\mathbb{R}}\) jest ciągły. Istotnie, jest liniowy i ciągły w zerze, gdyż mamy

\(\displaystyle{ |T(f)|=\biggl|\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}f\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)\biggr|\le\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\Bigl|f\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)\Bigr|\le\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\|f\|}{2^n}=\|f\|.}\)

Funkcjonał ten nie osiąga swojej normy, która jest równa 1 i to zostało wykazane w zasadniczej części dyskusji. Jest twierdzenie mówiące, że w przestrzeni refleksywnej każdy ciągły funkcjonał liniowy osiąga swoją normę. Zatem - i to chciałem tu powiedzieć - mamy dowód, że przestrzeń \(\displaystyle{ C([0,1])}\) nie jest refleksywna.