W całce iterowanej zmień kolejność całkowania.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{4}dx t_{ \sqrt{4x- x^{2} } }^{2 \sqrt{x} } f ft(x,y \right) dy}\)
brylant.iit.pwr.wroc.pl/~rgalik/wyk.jpg wykres tego czegos
Możecie wytłumaczyć jak to sie oblicza ? Od czego powinienem zacząć i jak postępować ?
Dzięki.
Całka iterowana - zmiana kolejnosci calkowania
-
Niebieski.
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 17 kwie 2008, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: znad morza.
- Pomógł: 1 raz
Całka iterowana - zmiana kolejnosci calkowania
Tak powinna wyglądać ta całka po ziterowaniu:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2}dy\int\limits_{\sqrt{\frac{y}{2}}}^{\sqrt{-4-y^2}+2}f(x,y) dx + t\limits_{0}^{2}dy\int\limits_{\sqrt{-4-y^2}+2}^{4}f(x,y) dx + t\limits_{2}^{4}dy\int\limits_{\sqrt{\frac{y}{2}}}^{4}f(x,y) dx}\)
Najpierw musimy wyznaczyć sobie obszar, po którym będziemy całkować. Widzimy, ze w naszej jeszcze nieziterowanej calce x zawiera się w przedziale od 0 do 4, a y jest ograniczone przez dwie funkcje - trzeba sobie to wszystko narysować i wybrać ten obszar, który spełnia wszystkie te warunki.
Nowe granice całkowania całki zewnętrznej, jako ze są to granice stałych, wystarczy odczytywać z wykresu, gorzej jest już z granicami zmiennych. Piszac kolokwialnie, żeby je wyznaczyć najpierw musimy sobie określić wzory funkcji uzależnionych od y, jako, ze nasza wewnętrzna całka będzie posiadać dx. Zawsze granice całkowania w calce wewnętrznej odpowiadają funkcjom, które są uzależnione od tej zmiennej, względem której całkujemy całkę wewnętrzną - jeśli w calce wewnętrznej po ziterowaniu mamy dx to wyznaczamy wzory uzależnione od x i vice versa - czyli u nas będzie to wyglądać tak:
\(\displaystyle{ y=2\sort{x}}\) daje \(\displaystyle{ x=\left(\frac{y}{2}\right)^2}\)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{4x-x^2}}\) daje \(\displaystyle{ x=\sqrt{-4-y^2}+2}\)
Teraz musimy się zastanowić, czy nasz obszar będziemy musieli podzielić na fragmenty, które następnie będziemy sumować. Dezeli całka wewnętrzna ma dx, to będziemy przez nasz wykres przeprowadzali - idąc od lewej do prawej - prosta równoległa do osi OX, a jeśli ma dy, to będziemy przeprowadzali - idąc od dołu do góry - prosta równoległą do osi OY. I jeśli nasza prosta, w którymś momencie zacznie przecinać więcej niż dwa wykresy funkcji, to wówczas musimy nasz obszar podzielić na mniejsze części.
W naszym przypadku mamy trzy obszary do scałkowania. Pierwsza całka odpowiada za fragment obszaru lezącego w prostokącie \(\displaystyle{ x\in[0,2]}\), \(\displaystyle{ y\in[0,2]}\) (caly ten prostokat nie jest fragmentem, po ktorym calkujemy, a ma tylko lokalizowac, gdzie znajduje sie wlasciwy fragment na obrazku, ktory podales); granice stałych w calce zewnętrznej to 0 i 2, bo wartości funkcji na wykresie tego obszaru są właśnie tak ograniczone. Widzimy, ze nasza prosta najpierw przechodzi - idąc od lewej do prawej - przez funkcje \(\displaystyle{ y=2\sqrt{x}}\) - czyli będziemy mieć \(\displaystyle{ x=\left(\frac{y}{2}\right)^2}\) - a później przez funkcje \(\displaystyle{ y=\sqrt{4x-x^2}}\) - czyli \(\displaystyle{ x=\sqrt{-4-y^2}+2}\).
Druga całka odpowiada za fragment obszaru lezącego w prostokącie \(\displaystyle{ x\in[2,4]}\) \(\displaystyle{ y\in[0,2]}\) - widać, ze nasza prosta przechodzi najpierw przez funkcje\(\displaystyle{ y=\sqrt{4x-x^2}}\) - czyli \(\displaystyle{ x=\sqrt{-4-y^2}+2}\), a później przez \(\displaystyle{ x=4}\), bo ta prosta z kolei wyznacza nam koniec obszaru całkowania; granice stałych w calce zewnętrznej to 0 i 2, bo wartości funkcji na wykresie tego obszaru są tak ograniczone.
Trzecia całka odpowiada za fragment obszaru lezącego w prostokącie \(\displaystyle{ x\in[1,4]}\) \(\displaystyle{ y\in[2,4]}\), przez co nasza prosta najpierw przechodzi przez wykres funkcji \(\displaystyle{ y=2\sqrt{x}}\) - czyli \(\displaystyle{ x=\left(\frac{y}{2}\right)^2}\) - a później znów przez prosta \(\displaystyle{ x=4}\); granice stałych w calce zewnętrznej to 2 i 4, bo wartości funkcji na wykresie tego obszaru są tak ograniczone...
... I teraz wystarczy już tylko zsumować te całki.
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2}dy\int\limits_{\sqrt{\frac{y}{2}}}^{\sqrt{-4-y^2}+2}f(x,y) dx + t\limits_{0}^{2}dy\int\limits_{\sqrt{-4-y^2}+2}^{4}f(x,y) dx + t\limits_{2}^{4}dy\int\limits_{\sqrt{\frac{y}{2}}}^{4}f(x,y) dx}\)
Najpierw musimy wyznaczyć sobie obszar, po którym będziemy całkować. Widzimy, ze w naszej jeszcze nieziterowanej calce x zawiera się w przedziale od 0 do 4, a y jest ograniczone przez dwie funkcje - trzeba sobie to wszystko narysować i wybrać ten obszar, który spełnia wszystkie te warunki.
Nowe granice całkowania całki zewnętrznej, jako ze są to granice stałych, wystarczy odczytywać z wykresu, gorzej jest już z granicami zmiennych. Piszac kolokwialnie, żeby je wyznaczyć najpierw musimy sobie określić wzory funkcji uzależnionych od y, jako, ze nasza wewnętrzna całka będzie posiadać dx. Zawsze granice całkowania w calce wewnętrznej odpowiadają funkcjom, które są uzależnione od tej zmiennej, względem której całkujemy całkę wewnętrzną - jeśli w calce wewnętrznej po ziterowaniu mamy dx to wyznaczamy wzory uzależnione od x i vice versa - czyli u nas będzie to wyglądać tak:
\(\displaystyle{ y=2\sort{x}}\) daje \(\displaystyle{ x=\left(\frac{y}{2}\right)^2}\)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{4x-x^2}}\) daje \(\displaystyle{ x=\sqrt{-4-y^2}+2}\)
Teraz musimy się zastanowić, czy nasz obszar będziemy musieli podzielić na fragmenty, które następnie będziemy sumować. Dezeli całka wewnętrzna ma dx, to będziemy przez nasz wykres przeprowadzali - idąc od lewej do prawej - prosta równoległa do osi OX, a jeśli ma dy, to będziemy przeprowadzali - idąc od dołu do góry - prosta równoległą do osi OY. I jeśli nasza prosta, w którymś momencie zacznie przecinać więcej niż dwa wykresy funkcji, to wówczas musimy nasz obszar podzielić na mniejsze części.
W naszym przypadku mamy trzy obszary do scałkowania. Pierwsza całka odpowiada za fragment obszaru lezącego w prostokącie \(\displaystyle{ x\in[0,2]}\), \(\displaystyle{ y\in[0,2]}\) (caly ten prostokat nie jest fragmentem, po ktorym calkujemy, a ma tylko lokalizowac, gdzie znajduje sie wlasciwy fragment na obrazku, ktory podales); granice stałych w calce zewnętrznej to 0 i 2, bo wartości funkcji na wykresie tego obszaru są właśnie tak ograniczone. Widzimy, ze nasza prosta najpierw przechodzi - idąc od lewej do prawej - przez funkcje \(\displaystyle{ y=2\sqrt{x}}\) - czyli będziemy mieć \(\displaystyle{ x=\left(\frac{y}{2}\right)^2}\) - a później przez funkcje \(\displaystyle{ y=\sqrt{4x-x^2}}\) - czyli \(\displaystyle{ x=\sqrt{-4-y^2}+2}\).
Druga całka odpowiada za fragment obszaru lezącego w prostokącie \(\displaystyle{ x\in[2,4]}\) \(\displaystyle{ y\in[0,2]}\) - widać, ze nasza prosta przechodzi najpierw przez funkcje\(\displaystyle{ y=\sqrt{4x-x^2}}\) - czyli \(\displaystyle{ x=\sqrt{-4-y^2}+2}\), a później przez \(\displaystyle{ x=4}\), bo ta prosta z kolei wyznacza nam koniec obszaru całkowania; granice stałych w calce zewnętrznej to 0 i 2, bo wartości funkcji na wykresie tego obszaru są tak ograniczone.
Trzecia całka odpowiada za fragment obszaru lezącego w prostokącie \(\displaystyle{ x\in[1,4]}\) \(\displaystyle{ y\in[2,4]}\), przez co nasza prosta najpierw przechodzi przez wykres funkcji \(\displaystyle{ y=2\sqrt{x}}\) - czyli \(\displaystyle{ x=\left(\frac{y}{2}\right)^2}\) - a później znów przez prosta \(\displaystyle{ x=4}\); granice stałych w calce zewnętrznej to 2 i 4, bo wartości funkcji na wykresie tego obszaru są tak ograniczone...
... I teraz wystarczy już tylko zsumować te całki.
Całka iterowana - zmiana kolejnosci calkowania
\(\displaystyle{ y=\sqrt{4x-x^2}}\) dlaczego daje \(\displaystyle{ x=\sqrt{-4-y^2}+2}\) jak na kartce nie chce wyjść :/ może ktoś to rozpisać...
Całka iterowana - zmiana kolejnosci calkowania
Tutaj nie trzeba nic liczyć, jest to przesunięcie półokręgu \(\displaystyle{ \sqrt{-4- y^{2} }}\) o 2 jednostki w prawo względem osi x.
-
YyyYYyyyY
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 19 lis 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 43 razy
Całka iterowana - zmiana kolejnosci calkowania
Niebieski., Super opis, dzięki! Tylko jedno mnie zastanawia... czy zamiast
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2}dy\int\limits_{\sqrt{\frac{y}{2}}}^{\sqrt{-4-y^2}+2}f(x,y) dx + \int\limits_{0}^{2}dy\int\limits_{\sqrt{-4-y^2}+2}^{4}f(x,y) dx + \int\limits_{2}^{4}dy\int\limits_{\sqrt{\frac{y}{2}}}^{4}f(x,y) dx}\)
nie powinno być:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2}dy\int\limits_{(\frac{y}{2})^2}^{\sqrt{-4-y^2}+2}f(x,y) dx + \int\limits_{0}^{2}dy\int\limits_{\sqrt{-4-y^2}+2}^{4}f(x,y) dx + \int\limits_{2}^{4}dy\int\limits_{(\frac{y}{2})^2}^{4}f(x,y) dx}\)
W końcu otrzymujemy funkcję zmiennej y: \(\displaystyle{ x(y)=\left(\frac{y}{2}\right)^2}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2}dy\int\limits_{\sqrt{\frac{y}{2}}}^{\sqrt{-4-y^2}+2}f(x,y) dx + \int\limits_{0}^{2}dy\int\limits_{\sqrt{-4-y^2}+2}^{4}f(x,y) dx + \int\limits_{2}^{4}dy\int\limits_{\sqrt{\frac{y}{2}}}^{4}f(x,y) dx}\)
nie powinno być:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2}dy\int\limits_{(\frac{y}{2})^2}^{\sqrt{-4-y^2}+2}f(x,y) dx + \int\limits_{0}^{2}dy\int\limits_{\sqrt{-4-y^2}+2}^{4}f(x,y) dx + \int\limits_{2}^{4}dy\int\limits_{(\frac{y}{2})^2}^{4}f(x,y) dx}\)
W końcu otrzymujemy funkcję zmiennej y: \(\displaystyle{ x(y)=\left(\frac{y}{2}\right)^2}\)
-
dudal
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 9 lut 2015, o 16:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
Całka iterowana - zmiana kolejnosci calkowania
Czy mógłby ktoś bardziej objaśnić mi zamianę \(\displaystyle{ y=\sqrt[]{4x- x^{2} }}\) na \(\displaystyle{ y=\sqrt[]{-4-y^{2} }+2}\). Będę dozgonnie wdzięczny