Dowód na niewymierność liczby

[Ciastko]

Takie zadanie, nie mam pojęcia jak się zabrać do tego...


Wiedząc, że liczba\(\displaystyle{ \sqrt{19}}\) jest niewymierna, udowodnij niewymierność liczby \(\displaystyle{ 4 \sqrt{19}-5}\)

Jeżeli zły dział to przepraszam, przenieście gdzie trzeba.

[ElEski]

Wystarczy kilka pojęć na tematy wymierności i niewymierności liczb.
Mnożąc liczbę niewymierną przez wymierną powstaje niewymierna, dodając wymierną do liczby rzeczywistej nie zmieniasz jej wymierności (była niewymierna-zostaje niewymierna, była wymierna-zostaje wymierna)
Chcesz dowód? Jest bardzo łatwy. Może od razu podam.
Jeśli by było, ze nw*w=w, to wtedy w/w=nw, co jest jednak jasnym fałszem (w/w jest wymierna, sprowadź sobie obie te liczby do wspólnego mianownika i podziel)
natomiast jeśli nw+w=w, to w-w=nw, jednak aby się przekonać, że to nie prawda, sprowadzasz do wspólnego mianownika liczby w z tego równania.
w-liczba wymierna
nw-liczba niewymierna

[Ciastko]

Wiem, że jest to liczba niewymierna, ale chodzi mi o to, że trzeba przeprowadzić dowód, ergo, potrzebne są obliczenia.

[ElEski]

No to masz dowód u góry.

[Ciastko]

Dziękuję bardzo

[Errichto]

Mnożąc liczbę niewymierną przez wymierną powstaje niewymierna,

\(\displaystyle{ \sqrt 2 \cdot 0=?}\) Tak, wiem, że za dużo się czepiam.

Co do zadania:

Ukryta treść:    

Załóżmy, że \(\displaystyle{ 4 \sqrt{19}-5}\) jest jednak l. wymierną czyli da się ją przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \frac pq}\) (wiadomo - całkowite, \(\displaystyle{ q \neq 0}\)).
\(\displaystyle{ 4 \sqrt{19}-5= \frac pq \\ 4 \sqrt{19} = \frac{p+5q}{q}\\ \sqrt{19}= \frac{p+5q}{4q}}\)
Mamy ułamek dwóch liczb całkowitych (mianownik jest różny od zera) zatem mamy liczbę wymierną. Jest to sprzeczność z faktem, że \(\displaystyle{ \sqrt{19}}\) jest liczbą niewymierną, więc nasze początkowe założenie jest fałszem, zatem dana liczba jest niewymierna, c.n.d.

Ale można też oczywiście z definicji i własności działań na wymiernych i niewymiernych.

[ElEski]

Errichto,
Nie, nie czepiasz się za dużo.
ZNów się pomyliłem.
Chory jestem i nie zauważam takich przypadków ;/- wszystko mi umyka.

[Errichto]

Oj tam, oj tam, patrz mój podpis, a nie tu będziesz się wyżalał.
I jeśli nie kłamiesz co do wieku to i tak kozak jesteś, ja w tym wieku dopiero się tabliczki mnożenia się uczyłem

[ElEski]

Nie, nie kłamię
I tak ścigam się z paroma osobami ;]