Oblicz całkę stowarzyszoną

[test30]

w jaki sposob obliczyc calke
\(\displaystyle{ \int \sqrt{t-at^2} dt}\)
mam podpowiedz, ze jest to calka stowarzyszona,
troche o niej jest na np.
10 strona,
lub na 337 stronie Analiza matematyczna w zadaniach, Krysicki, Włodarski, Tom I,
ale nie mam zielonego pojecia jak je obliczyc ;/

edit: 199646.htm tutaj jest podobna, kosmiczny wynik jakis wyjdzie chyba, a do tego ten parametr a...

[Mariusz M]

Liczysz przez części oraz korzystasz z tego że

\(\displaystyle{ \sqrt{a}= \frac{a}{ \sqrt{a} }}\)

W ten sposób otrzymujesz układ równań z którego obliczasz całkę

Dla wygody obliczeń możesz zwinąć trójmian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej

Poza tym sugerowałbym rozpatrzenie dwóch przypadków

dla \(\displaystyle{ a>0}\)

sprowadzasz całkę która tobie zostanie do arcus sinusa

a dla \(\displaystyle{ a<0}\)

odpowiednim podstawieniem Eulera sprowadzasz całkę która tobie zostanie do logarytmu

[test30]

rozpisalem sobie \(\displaystyle{ \int{\sqrt{t-a^2}dt = \int{\sqrt{ \frac{1}{4a} - \left( (\sqrt{a}t - \frac{1}{2\sqrt{a}} \right)^2 }dt \\
(\sqrt{a}t - \frac{1}{2\sqrt{a}}=x \\
\frac{dx}{dt}=\sqrt{a} \\
k=\frac{1}{4a}}\)
to daje:
\(\displaystyle{ \int 1\sqrt{k-x^2}dx}\), a to juz jest punkt wejsciowy do strony nr 10 w skrypcie, do ktorego link podalem 1, poscie.


ajjjj, w tresci jest, ze a jest dodatnie, przepraszam ze zapomnialem napisac ; p