Układ równań

[eerroorr]

Mam do rozwiązania taki układ równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}|x|-y=1\\x^{2}+(y+1)^{2}=8\end{array}\right.}\)

Mi wyszły takie rozwiązania:
dla x>0 : y=1 i x=2; y=-3 i x=-2
dla x

[Calasilyar]

ponieważ
\(\displaystyle{ x\in R,\;\;|x|=y+1\;\Rightarrow\; y\geq -1}\)

\(\displaystyle{ x^{2}=|x|^{2}}\)

\(\displaystyle{ 2(y+1)^{2}=8\\
(y+1)^{2}=4\\
y+1=2\;\; (y+1\geq 0)\\
y=1\\
x=y+1\\
x=2}\)

Jedyne rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x=2\\y=1\end{array}\right.}\)

[eerroorr]

\(\displaystyle{ x\in R,\;\;|x|=y+1\;\Rightarrow\; y\geq -1}\)

\(\displaystyle{ x^{2}=|x|^{2}}\)

Skąd to wziąłeś ?

[Calasilyar]

tak mają wszystkie potęgi parzyste, że
\(\displaystyle{ x^{2n}=|x|^{2n}}\)

a to pierwsze jest przekształceniem pierwszego równania. wiadomo bowiem, że \(\displaystyle{ |x|\geq 0}\)
a jeżeli \(\displaystyle{ |x|=a}\), to również \(\displaystyle{ a\geq 0}\)

[eerroorr]

\(\displaystyle{ 2(y+1)^{2}=8}\) A to w jaki sposób przekształciłeś ??

Ja rozwiązałem to w ten sposób:
dla x>0
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x-y=1\\x^{2}+(y+1)^{2}=8\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x=1+y\\(1+y)^{2}+y^{2}+2y+1=8\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{ y^{2}+2y+1+y^{2}+2y+1=8}\)
\(\displaystyle{ 2y^{2}+4y-6=0}\)
\(\displaystyle{ y_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ y_{2}=-3}\) - nie spełnia założeń

Moge rozwiazac to w taki sposob, czy musze jeszcze dopisac jakies zalozenia ??

[Calasilyar]

no zrobiłes to samo, co ja, tylko rozpisałeś jeden nawias

\(\displaystyle{ x^{2}+(y+1)^{2}=8\\
x>0\\
x=y+1\\
(y+1)^{2}+(y+1)^{2}=8\\
2(y+1)^{2}=8}\)

ale to założenie: \(\displaystyle{ |x|=y+1\geq 0}\) jest wymagane i to chyba jedyne (poza tymi w przypadkach)

[eerroorr]

Wielkie dzieki za pomoc

[ Dodano: 4 Listopad 2006, 15:37 ]
Zapomniałem tylko o jednym: zapisując ten warunek, który podałeś nie musze już rozwiązywać tego układu dla x