długość krzywej

[kajt3k]

Musze policzyć długość krzywej funkcji \(\displaystyle{ y=ln(cosx)}\) \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} \ge x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ y'=(ln(cosx))'}\) = \(\displaystyle{ }\) = \(\displaystyle{ (lnU)' \cdot U'}\) = \(\displaystyle{ \frac{-sinx}{cosx}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ \sqrt{1+\left( \frac{-sinx}{cosx}\right)^2 } \cdot dx}\) = \(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ \sqrt{1-tg^2x } \cdot dx}\)
No i niestety dalej nie wiem co począć, Proszę o pomoc.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ t=tgx}\) sprowadzi do całki Eulera. Sprawdź jeszcze raz czy tam napewno powienie być minus.

[leonek74]

Nakhed90: tam jest minus (logarytm z kosinusa daje minus sinus przez cosinus).
kajt3k: zmień granice całkowania (odwrotnie).

[voldi9]

\(\displaystyle{ \int \sqrt{1+tg^2(x)}dx}\)

chyba, co?
Ale calka nieprzyjemna, wolframaplha daje niezle bagno :/

[Mariusz M]

Podstawienie

\(\displaystyle{ t=\tan{x}+ \sqrt{1+\tan^{2}{x}}}\)

Po podstawieniu powinieneś otrzymać

\(\displaystyle{ \ln{\left| \tan{x}+\sqrt{1+\tan^{2}{x}}\right| }+C}\)

albo

\(\displaystyle{ = \int{ \frac{ \mbox{d}x }{\cos{x}} }=\int{ \frac{\cos{x} \mbox{d}x }{\cos^{2}{x}} }\\
\int{ \frac{\cos{x}}{\left( 1-\sin{x}\right)\left( 1+\sin{x}\right) } }
=\ln{\left| \frac{1+\sin{x}}{\cos{x}} \right| }+C}\)