1. Zadanie.
Wyznaczyć \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in N}^{} A_{t}}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcap_{t \in N}^{} A_{t}}\) indeksowanej rodziny zbiorów:\(\displaystyle{ A_{t}}\)={\(\displaystyle{ x \in R}\): \(\displaystyle{ -}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{t+1}}\) \(\displaystyle{ <x<1-\frac{1}{t+1}}\)}, \(\displaystyle{ t \in N}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ A _{t} =\left\{x \in R: - \frac{1}{t+1}<x<1- \frac{1}{t+1} \right\} , t \in N}\)\(\displaystyle{ A _{1} =\left\{x \in R: - \frac{1}{2}<x<\frac{1}{2} \right\}}\)
\(\displaystyle{ A _{2} =\left\{x \in R: - \frac{1}{3}<x<\frac{2}{3} \right\}}\)
\(\displaystyle{ A _{3} =\left\{x \in R: - \frac{1}{4}<x<\frac{3}{4} \right\}}\)
\(\displaystyle{ \bigcup_{t \in N}^{} A_{t} =(- \frac{1}{2},1)}\)
\(\displaystyle{ \bigcap_{t \in N}^{} <0, \frac{1}{2} )}\)
dlaczego akurat takie wyniki ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Zadanie.
Niech \(\displaystyle{ A = \left\{A_{t} ,t \in T\right\}}\) będzie indeksowaną rodziną zbiorów, gdzie:\(\displaystyle{ A_{t}=\left\{x \in R:sinx=t \right\}, t \in R}\)
\(\displaystyle{ A_{t}=\left\{x \in R:0 \le x \le \frac{1}{t} \right\}, t>0}\)
\(\displaystyle{ A_{t}=\left\{(x,y) \in R \times R: x^{2} + y^{2} \le t^{2} \right\}, t \ge 0}\)
Znaleźć \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in N}^{} A_{t}}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcap_{t \in N}^{} A_{t}}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ A_{t}=\left\{(x,y) \in R \times R: x^{2} + y^{2} \le t^{2} \right\}, t \ge 0}\)\(\displaystyle{ \bigcup_{t \ge 0}^{} A_{t} =R \times R}\)
\(\displaystyle{ \bigcap_{t \ge 0}^{} A_{t}=\{(0,0)\}}\)
dlaczego tak ?
Proszę o pomoc.
