Suma długości dwóch odcinków najmniejsza
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 13 lis 2010, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 50 razy
Suma długości dwóch odcinków najmniejsza
Witam, prosiłbym o pomoc z następującym zadaniem:
Dane są punkty A=(2,0) i B=(6,2). Na prostej k: x-y=0 wyznacz taki punkt P, aby suma długości odcinków AP i BP była najmniejsza.
Dane są punkty A=(2,0) i B=(6,2). Na prostej k: x-y=0 wyznacz taki punkt P, aby suma długości odcinków AP i BP była najmniejsza.
- Errichto
- Użytkownik
- Posty: 1629
- Rejestracja: 17 mar 2011, o 18:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suwałki
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 272 razy
Suma długości dwóch odcinków najmniejsza
\(\displaystyle{ x-y=0\\y=x}\)
Czyli trzeci punkt ma współrzędne \(\displaystyle{ (x,x)}\)
Policzmy sumę odległości:
\(\displaystyle{ (x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2}\)
Doprowadź do postaci \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\).
Będziesz miał parabolę z ramionami do góry.
Ta odległość musi być jak najmniejsza czyli musisz złapać wierzchołek paraboli.
Czyli trzeci punkt ma współrzędne \(\displaystyle{ (x,x)}\)
Policzmy sumę odległości:
\(\displaystyle{ (x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2}\)
Doprowadź do postaci \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\).
Będziesz miał parabolę z ramionami do góry.
Ta odległość musi być jak najmniejsza czyli musisz złapać wierzchołek paraboli.
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 13 lis 2010, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 50 razy
Suma długości dwóch odcinków najmniejsza
Czyli można sobie te odległości podnieść do kwadratu? Bo własnie to było dla mnie problemem: nie bardzo wiedziałem co zrobić z pierwiastkami ze wzoru na dł. odcinka.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Suma długości dwóch odcinków najmniejsza
Nie można niestety.-- 29 mar 2011, o 22:41 --To znaczy, pewien nie jestem czy wynik nie wyjdzie taki sam, ale nie widzę uzasadnienia, dlaczego tak by można było. Jeśli chcesz podpowiedź, to niech \(\displaystyle{ B'}\) będzie obrazem punktu \(\displaystyle{ B}\) w symetrii względem prostej \(\displaystyle{ x-y=0}\). Znajdź odległość pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) a \(\displaystyle{ B'}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Suma długości dwóch odcinków najmniejsza
Będzie równa najmniejszej sumie odległości \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ BP}\). To dlatego, że suma odległości \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ BP}\) to to samo, co suma odległości \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ B'P}\). A ta suma jest najmniejsza, gdy \(\displaystyle{ P}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ AB'}\).-- 29 mar 2011, o 23:04 --Oczywiście to przy założeniu, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) leżą po tej samej stronie prostej. W tym zadaniu tak jest.
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 13 lis 2010, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 50 razy
Suma długości dwóch odcinków najmniejsza
Już rozumiem Dzięki serdeczne. Spotkałem się już kiedyś z takim rozwiązaniem, ale właśnie nie bardzo wiedziałem skąd się to bierze.
- Errichto
- Użytkownik
- Posty: 1629
- Rejestracja: 17 mar 2011, o 18:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suwałki
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 272 razy
Suma długości dwóch odcinków najmniejsza
Nie opisałem tego, ale można tak robić.
Odległość to \(\displaystyle{ \sqrt{(x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2}}\) i mamy znaleźć najmniejszą wartość. Zarówno pierwiastek jak i wyrażenie pod pierwiastkiem są dodatnie, także policzenie minimum z kwadratu odległości zawsze da nam poprawny wynik.
Odległość to \(\displaystyle{ \sqrt{(x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2}}\) i mamy znaleźć najmniejszą wartość. Zarówno pierwiastek jak i wyrażenie pod pierwiastkiem są dodatnie, także policzenie minimum z kwadratu odległości zawsze da nam poprawny wynik.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Suma długości dwóch odcinków najmniejsza
Lecz czy minimalizowanie \(\displaystyle{ \sqrt{(x-2)^2+x^2}+\sqrt{(x-6)^2+(x-2)^2}}\) to to samo, co minimalizowanie \(\displaystyle{ \sqrt{(x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2}}\)?
W Twoim wynik wychodzi \(\displaystyle{ x=\frac{5}{2}}\), a z moich geometrycznych rozważań mamy \(\displaystyle{ x=2}\).
W Twoim wynik wychodzi \(\displaystyle{ x=\frac{5}{2}}\), a z moich geometrycznych rozważań mamy \(\displaystyle{ x=2}\).
- Errichto
- Użytkownik
- Posty: 1629
- Rejestracja: 17 mar 2011, o 18:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suwałki
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 272 razy
Suma długości dwóch odcinków najmniejsza
Ja minimalizuję \(\displaystyle{ \sqrt{(x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2}}\).
A Ty co minimalizujesz? Sumę pierwiastków?
A Ty co minimalizujesz? Sumę pierwiastków?