Cztery zadanka z seri MATURA 2005:
1.Pole sciany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokatnego jest rowna S. Kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Oblicz objetosc.
2. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odległość środka wysokości od krawędzi bocznej i ściany bocznej wynosza odpowiednio a i b. Oblicz objetość.
3.W ostrosłupie prawidłowym czworokatnym krawedz boczna tworzy z krawedziom podstawy \(\displaystyle{ \angle\alpha}\). Wyznacz cosinus kąta między sąsiednimi scianami bocznymi.
4.Oblicz objetość ostrosłupa prawidłowego czworokatnego mając długość krawędzi podstawy 6 i miare 120 stopni kata miedzy dwiema sasiednimi scianami bocznymi.
(4 zadania) Ostrosłup prawidłowy czworokątny
-
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 1 wrz 2004, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 53 razy
(4 zadania) Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Zobacz na zadanie https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2622
Zad 3 to to samo tylko w odwrotnym kierunku.
Zad 3 to to samo tylko w odwrotnym kierunku.
- bisz
- Użytkownik
- Posty: 572
- Rejestracja: 13 paź 2004, o 18:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 27 razy
(4 zadania) Ostrosłup prawidłowy czworokątny
niech ten kąt 2a będzie między wysokością ściany bocznej a boczną krawędzią,
niech h to wysokość sciany bocznej a H to wysokość ostrosłupa
mamy zatem :
\(\displaystyle{ \frac{\frac{a}{2}}{h}=tg(\alpha)}\)
stąd
\(\displaystyle{ h=\frac{a}{2tg(\alpha)}}\)
więc
\(\displaystyle{ S=\frac{a^{2}}{4tg(\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ a=\sqrt{4Stg(\alpha)}=2\sqrt{Stg(\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ a=2htg(\alpha)}\)
\(\displaystyle{ S=h^{2}tg(\alpha)}\)
\(\displaystyle{ h=\sqrt{\frac{S}{tg(\alpha)}}}\)
z pitagorasa :
\(\displaystyle{ H^{2}+\frac{a^{2}}{4}=h}\)
\(\displaystyle{ H=\sqrt{h^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{S}{tg(\alpha)}-Stg(\alpha)}=\sqrt{S(ctg(\alpha)-tg(\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}a^{2}H=\frac{1}{3}4Stg(\alpha)\sqrt{\frac{S}{tg(\alpha)}-Stg(\alpha)}}\)
niech h to wysokość sciany bocznej a H to wysokość ostrosłupa
mamy zatem :
\(\displaystyle{ \frac{\frac{a}{2}}{h}=tg(\alpha)}\)
stąd
\(\displaystyle{ h=\frac{a}{2tg(\alpha)}}\)
więc
\(\displaystyle{ S=\frac{a^{2}}{4tg(\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ a=\sqrt{4Stg(\alpha)}=2\sqrt{Stg(\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ a=2htg(\alpha)}\)
\(\displaystyle{ S=h^{2}tg(\alpha)}\)
\(\displaystyle{ h=\sqrt{\frac{S}{tg(\alpha)}}}\)
z pitagorasa :
\(\displaystyle{ H^{2}+\frac{a^{2}}{4}=h}\)
\(\displaystyle{ H=\sqrt{h^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{S}{tg(\alpha)}-Stg(\alpha)}=\sqrt{S(ctg(\alpha)-tg(\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}a^{2}H=\frac{1}{3}4Stg(\alpha)\sqrt{\frac{S}{tg(\alpha)}-Stg(\alpha)}}\)