[Teoria liczb] Interesująca teoria liczb z częścią całkowitą

[limes123]

Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ c>\frac{8}{3}}\) istnieje liczba rzeczywista \(\displaystyle{ x}\) taka, że \(\displaystyle{ \left[ x^{c^n}\right]}\) jest liczbą pierwszą dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) całkowitego dodatniego.

(Nawiasy to część całkowita)

[arek1357]

Kiedyśłem wzór jawny tzn ciąg na ntą liczbę pierwszą i wydaje mi się że ten wzór byłby kluczem
do zadania.
Ale nie mogę tego wzoru nigdzie znaleźdź na internecie.
Pamiętam tylko że razy byłżty symbol część całkowita liczby!!

[ordyh]

arek1357, chodzi Ci o to 159928.htm#p624705 ?

[XMaS11]

Wystarczy (!) pokazać, że dla każdej stałej \(\displaystyle{ t> \frac{5}{8}}\) dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) pomiędzy \(\displaystyle{ n}\), a \(\displaystyle{ n+n^t}\) można znaleźć jakąś liczbę pierwszą.

[arek1357]

Własnie o ten wzór mi chodziło już go dokładnie nie pamiętam ale chyba to jest to.
Dziwne tyl;ko że zwykle się spotykałem z opinią że wzorów jawnych na kolejne liczby pierwsze nie ma...
ale jak widać są i chyba dobrze-- 25 marca 2011, 22:32 --Dzięki Ordyh za link

[XMaS11]

To nie jest wzór jawny :>

[arek1357]

Jak to niejawny a co pierwszemu wzorowi brakuje do jawności?? jest wzór na pn i tyle

[adriano1992]

To będzie jakieś rozwiązanie tego zadania czy nie?

[XMaS11]

Do kogo to pytanie jest skierowane ?

[justynian]

Zapewne do tych którzy potrafią je rozwiązać

[Damianito]

Przynajmniej potwierdza, że lemat, do którego XMaS11 sprowadził zadanie jest prawdziwy.

Mianowicie chodzi o występujące w artykule asymptotyczne (dla dowolnego \(\displaystyle{ \theta > \frac{5}{8}}\) i odpowiednio dużych \(\displaystyle{ x}\)) oszacowanie wyrażenia \(\displaystyle{ \pi(x+x^{\theta})-\pi(x)}\) ( po prostu liczby liczb pierwszych pomiędzy \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ x+x^{\theta}}\)) jako \(\displaystyle{ \frac{x^{\theta}}{\log{x}}}\), co dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ x}\) przekracza żądane 1.

[Swistak]

No to najpierw spróbujcie pokazać Czebyszewa, czyli, że między n a 2n leży liczba pierwsza, a potem potem możecie się brać za takie rzeczy xD.

[Damianito]

No i gdyby udało się dowieść tego lematu, to polecam sprawdzić, czy wymyślony dowód nie działa przypadkiem też dla \(\displaystyle{ t=\frac{4}{8}}\), bo wtedy dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) mielibyśmy co najmniej jedną liczbę pierwszą pomiędzy \(\displaystyle{ n^2}\) a \(\displaystyle{ (n+1)^2}\), co jak na razie jest tylko nierozstrzygniętą hipotezą