Teoria miary - ciekawy problem

[Emiel Regis]

Znaleźć przestrzeń mierzalną oraz zadanie na niej dwie miary skończone \(\displaystyle{ \mu_1}\) oraz \(\displaystyle{ \mu_2}\) takie że:

1. \(\displaystyle{ \mu_1(X) = \mu_2(X)}\)
oraz rodzina zbiorów \(\displaystyle{ A S}\) takich że:
2. \(\displaystyle{ \mu_1(A) = \mu_2(A)}\)
nie jest \(\displaystyle{ \sigma}\) algebrą.

X - cała przestrzeń
S - rodzina zbiorów mierzalnych

Każda propozycja mila widziana.

[dr_grucha]

\(\displaystyle{ X=\left\{0,1 \right\}}\)

\(\displaystyle{ \mu_1\left( \emptyset\right) =\mu_2\left( \emptyset\right) =\mu_1\left( \left\{ 0\right\} \right)=0}\)

\(\displaystyle{ \mu_2\left( \left\{ 0\right\} \right) =\mu_1\left( \left\{ 1\right\} \right) =\mu_2\left( \left\{ 1\right\} \right)=\mu_1\left( X \right)=\mu_2\left( X \right)=+\infty}\)

\(\displaystyle{ S=\left\{ \emptyset,\left\{ 1\right\},X \right\}}\) - nie jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą