Dwa wierzchołki kwadratu leżą na paraboli

[perfect]

Wierzchołki \(\displaystyle{ A, B}\) kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) leżą na paraboli \(\displaystyle{ y=x^2-6x+19}\), przy czym odcinek \(\displaystyle{ AB}\) jest równoległy do osi \(\displaystyle{ Ox}\). Wykaż, że jeżeli odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od osi \(\displaystyle{ Ox}\) jest liczbą całkowitą to pole kwadratu również jest liczbą całkowitą.

Mógłby mi ktoś potwierdzić/zaprzeczyć czy poniższe rozwiązanie przeszłoby na maturze?

Parabola i kwadrat są symetryczne względem osi p \(\displaystyle{ x=3}\) (ze wzoru \(\displaystyle{ p= \frac{-b}{2a}}\).
Przekształcam funkcję kwadratową \(\displaystyle{ y=x^2-6x+19=(x-3)^2+10}\)
\(\displaystyle{ y=(x-3)^2+10 \Rightarrow ( y \in C \Leftrightarrow x \in C )}\)
\(\displaystyle{ Ay \in C \Rightarrow Ax \in C}\)
\(\displaystyle{ Ax=-Bx+3}\)
\(\displaystyle{ Ax,Bx \in C \Rightarrow a=|Bx-Ax| \in C}\)
\(\displaystyle{ P=a^2 \in C}\)
\(\displaystyle{ Cnw.}\)

Wg mnie jest ono "chwiejne" i raczej nie takie, o jakim marzy klucz.

[norwimaj]

\(\displaystyle{ Ay \in C \Rightarrow Ax \in C}\)

Dla \(\displaystyle{ y=12}\) też tak jest?

Rozwiązanie na maturze może być inne niż w kluczu, ale musi być poprawne, a to nie jest.

[perfect]

W takim razie proszę o pomoc w rozwiązaniu.

[norwimaj]

Mamy \(\displaystyle{ A_y=(A_x-3)^2+10}\). Możemy stąd wyznaczyć \(\displaystyle{ A_x=3\pm\sqrt{A_y-10}}\). To co stoi pod pierwiastkiem jest nieujemne, bo inaczej punkt \(\displaystyle{ A}\) nie spełniałby równania paraboli. Dalej już dasz radę?