Wykaż prawdziwość równania

[help_me;)]

\(\displaystyle{ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} (x_{n}-\overline{x})(y_{n}-\overline{y})= \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} x_{n}y_{n}-\overline{x}\overline{y}}\)

Wiedząc, że:

\(\displaystyle{ \overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_{n}}\)

\(\displaystyle{ \overline{y}=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}y_{n}}\)

Mam nadzieję, że napisałam w dobrym temacie

Mój tok postępowania był taki, że zaczęłam od lewej strony mnożąc to co w nawiasach, a następnie podstawiając za \(\displaystyle{ \overline{x}}\) i \(\displaystyle{ \overline{y}}\). Ale za bardzo nie wiem jak to rozpisać bo w nawiasie mi wyjdzie suma którą również muszę pomnożyć przez sumę. W każdym razie ja utknęłam, więc będę wdzięczna za jakiekolwiek wskazówki:))

Pozdrawiam

[Errichto]

Na początku nie podstawiaj za \(\displaystyle{ \overline{x}}\) i \(\displaystyle{ \overline{y}}\) tych sum.
Po lewej wymnóż nawiasy i rozbij sumę na 4 sumy (po wymnożeniu nawiasów, ale pamiętając o uwadze z pierwszej linijki).
\(\displaystyle{ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} x_{n}y_{n}}\) się skróci
\(\displaystyle{ \overline{x}}\) i \(\displaystyle{ \overline{y}}\) nie zależą od \(\displaystyle{ n}\), więc możesz je powyłączać przed sumy.
Dasz radę dokończyć? (za \(\displaystyle{ \overline{x}}\) i \(\displaystyle{ \overline{y}}\) podstaw dopiero na końcu sumy.)

PS. Czemu jesteś facetem, a piszesz w rodzaju żeńskim? Popraw profil.

[help_me;)]

Dzieki.. zdaje się, że nie tylko płeć miałam poprzestawianą w profilu ;P Swoją drogą za bardzo uważny jesteś ;P A wracając do zadania.. to o ile \(\displaystyle{ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} x_{n}y_{n}}\) otrzymałam w postaci jakiej powinno być to przy \(\displaystyle{ \overline{x}\overline{y}}\) nadal mam \(\displaystyle{ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}}\) i nie wiem jak sie tego pozbyć.. ;P

[Errichto]

\(\displaystyle{ \overline{x}}\) i \(\displaystyle{ \overline{y}}\) nie zależą od \(\displaystyle{ n}\), więc możesz je powyłączać przed sumy.

\(\displaystyle{ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\overline{x}\overline{y}=\overline{x}\overline{y} \cdot \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}1=\overline{x}\overline{y} \cdot \frac{1}{N} \cdot N=\overline{x}\overline{y}}\)
Po przekształceniach otrzymałaś mam nadzieję cos takiego:
\(\displaystyle{ 2\overline{x}\overline{y}= \overline{x} \cdot \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}y_{n}+\overline{y} \cdot\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_{n}}\)
Teraz wyszukujesz tutaj coś za co możesz wstawić \(\displaystyle{ \overline{x}}\), to samo z \(\displaystyle{ \overline{y}}\). I jest tożsamość. (Można oczywiście robić to na zasadzie \(\displaystyle{ L=...=P}\))

Czemu jestem za bardzo uważny? To jakaś negatywna cecha?

[help_me;)]

Nie miałam na myśli nic złego.. w sumie to dobrze, że jesteś taki spostrzegawczy.. Miałam po prostu na myśli, że większość ludzi by na to uwagi nie zwróciła..;P

A co do zadania.. rozwiązane więc dziękuje bardzo !!