pierwiastek niewymierny wielomianu

[smmileey]

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^{3}+x+1}\). Uzasadnij, że wielomian W(x) ma co najmniej jeden pierwiastek korzystając z twierdzenia, że każdy niezerowy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.

[marseel]

Czego konkretnie nie rozumiesz/ nie wiesz jak zrobić?

[smmileey]

Nie potrafię przekształcić W(x) w iloczyn wielomianów maksymalnie drugiego stopnia.

[Psiaczek]

Nie potrafię przekształcić W(x) w iloczyn wielomianów maksymalnie drugiego stopnia.

Ty nie musisz przekształcać, wyprowadź wniosek z tego że twój wielomian jest trzeciego stopnia, oraz że każdy wielomian stopnia pierwszego ma pierwiastek rzeczywisty.

[Vax]

Nie musisz, zauważ, że korzystając z twierdzenia, które podałeś w 1 poście możemy zauważyć, że rozkładając dany wielomian musi wystąpić co najmniej jeden czynnik liniowy (ponieważ dany wielomian jest nieparzystego stopnia) i przyrównując ten czynnik do 0 zawsze otrzymamy pierwiastek

Pozdrawiam.

[smmileey]

Dziękuje

[Adam656]

Nie musisz, zauważ, że korzystając z twierdzenia, które podałeś w 1 poście możemy zauważyć, że rozkładając dany wielomian musi wystąpić co najmniej jeden czynnik liniowy (ponieważ dany wielomian jest nieparzystego stopnia) i przyrównując ten czynnik do 0 zawsze otrzymamy pierwiastek

Pozdrawiam.

Wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ W( \frac{ \sqrt[3]{ \sqrt{87}-9 } }{ \sqrt[3]{36} } - \frac{1}{ \sqrt[3]{6( \sqrt{87}-9 )} } ) = 0}\)
Adam

[Vax]

Tak też można, wyprowadzenie jego nie jest takie długie:

\(\displaystyle{ 2x^3+x+1=0}\)

\(\displaystyle{ x^3+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}=0}\)

\(\displaystyle{ x=u+v}\)

\(\displaystyle{ u^3+v^3+(u+v)(3uv+\frac{1}{2})+\frac{1}{2} = 0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3 = -\frac{1}{2}\\ u^3v^3 = -\frac{1}{216} \end{cases}}\)

Są to wzory Viete'a dla trójmianu kwadratowego o pierwiastkach \(\displaystyle{ u^3 \wedge v^3}\) stąd dany trójmian ma postać:

\(\displaystyle{ z^2+\frac{1}{2}z-\frac{1}{216}=0}\)

\(\displaystyle{ x = u+v = \sqrt[3]{-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{\frac{29}{108}}}{2}} + \sqrt[3]{-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{\frac{29}{108}}}{2}}}\)

Pozdrawiam.

[smmileey]

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3 = -\frac{1}{2}\\ u^3v^3 = -\frac{1}{216} \end{cases}}\)

skad sie to wzielo?

[Errichto]

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3 = -\frac{1}{2}\\ u^3v^3 = -\frac{1}{216} \end{cases}}\)
Są to wzory Viete'a dla trójmianu kwadratowego o pierwiastkach \(\displaystyle{ u^3 \wedge v^3}\) stąd ...

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3 = -\frac{1}{2}\\ u^3v^3 = -\frac{1}{216} \end{cases}}\)

skad sie to wzielo?

Z pogrupowania równości

\(\displaystyle{ u^3+v^3+(u+v)(3uv+\frac{1}{2})+\frac{1}{2} = 0}\)

dostajesz układ równań który sprowadzasz do wzorów Viete'a
równania kwadratowego

Z równania \(\displaystyle{ u^3+v^3+(u+v)(3uv+\frac{1}{2})+\frac{1}{2} = 0}\)

masz

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3+\frac{1}{2}=0 \\ 3uv+\frac{1}{2}=0 \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=-\frac{1}{2} \\ uv=-\frac{1}{6} \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=-\frac{1}{2} \\ u^3v^3=-\frac{1}{216} \end{cases}}\)

[smmileey]

Z równania \(\displaystyle{ u^3+v^3+(u+v)(3uv+\frac{1}{2})+\frac{1}{2} = 0}\)

masz

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3+\frac{1}{2}=0 \\ 3uv+\frac{1}{2}=0 \end{cases}\\}\)

a czemu akurat tak?
nie może być np. pierwsze równanie równe 5, a drugie -5? czemu oba zero?

[kamil13151]

smmileey, Oba zero, bo przecież mamy przyrównać do zera by równość się zgadzała.

[Mariusz M]

smmileey, czemu zero ?
Mnie wydaje się że dlatego że
w drugim równaniu masz iloczyn
a jeżeli masz iloczyn to wygodniej
jest przyrównać go do zera
ponieważ iloczyn jest równy zero gdy co najmniej
jeden z jego czynników jest równy zero