Obliczyć granice

[tajner]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{e^{1/x^{2}}}{x^{100}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } (\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{sin^{2}x})}\)

Korzystam z del Hospitala, ale nie mogę dojść do postaci aby nie było wyrażenia nieoznaczonego...

[luka52]

Pierwsza:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{e^{1/x^2}}{x^{100}} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{1}{x^2} + o \left( \frac{1}{x^2} \right)}{x^{100}} = +\infty}\)

Druga:
korzystając z faktu, że \(\displaystyle{ \sin x \approx x \left(1- \frac{x^2}{6} \right)}\) możemy zapisać:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin^2 x} \approx \frac{1}{x^2 \left(1- \frac{x^2}{6} \right)^2} \approx \frac{1 + \frac{x^2}{3} }{x^2}}\)

stąd rozważana granica jest równa \(\displaystyle{ -\tfrac{1}{3}}\).

[paulisian]

mozna wiedziec skad taki rozklad w pierwszej granicy?
z tej granicy wdg Banasia powinno wyjsc 0 wiec czemu wyszlo ci plus niesk.?

[miodzio1988]

Zwykłe rozwinięcie w szereg.

[tajner]

Mógłbyś powiedzieć jak doszłeś do tego szeregu w pierwszym? W drugim b wiem jak dojść do tego szeregu, ale nie wiem jak robisz drugie przybliżenie...

[Althorion]

Poszukaj informacji o szeregu Maclaurina.

[tajner]

Wiem jak to się robi ale nie wiem jak dojść...

[norwimaj]

Pierwsza:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{e^{1/x^2}}{x^{100}} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{1}{x^2} + o \left( \frac{1}{x^2} \right)}{x^{100}} = +\infty}\)

Symbol \(\displaystyle{ o \left( \frac{1}{x^2} \right)}\), jak rozumiem, oznacza tu funkcję, która podzielona przez \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}}\) dąży do \(\displaystyle{ 0}\), gdy \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}}\) dąży do \(\displaystyle{ 0}\). Nie możemy na tej podstawie mówić, co dzieje się dla \(\displaystyle{ x}\) dążącego do \(\displaystyle{ 0}\). Wniosek: pomimo mądrego wyglądu jest to ściema.-- 23 mar 2011, o 14:33 --Żeby dobitnie pokazać, że tak lepiej nie robić, posłużę się przykładem:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}e^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to0}(1+o(1))=1}\),
podczas gdy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}e^{\frac{1}{x^2}}=e^{\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}}=e^{+\infty}=+\infty}\).

[choko]

A może chociaż wiecie skąd to się bierze?

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2 \left(1- \frac{x^2}{6} \right)^2} \approx \frac{1 + \frac{x^2}{3} }{x^2}}\)

stąd rozważana granica jest równa \(\displaystyle{ -\tfrac{1}{3}}\).

[norwimaj]

A może chociaż wiecie skąd to się bierze?

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2 \left(1- \frac{x^2}{6} \right)^2} \approx \frac{1 + \frac{x^2}{3} }{x^2}}\)

stąd rozważana granica jest równa \(\displaystyle{ -\tfrac{1}{3}}\).

To się bierze z analizy wyższej, ale można też to zadanie zrobić korzystając tylko ze wzoru Taylora.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } (\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\sin^{2}x})=
\lim_{ x\to0 } \frac{\sin^2x-x^2}{x^2\sin^{2}x}=
\lim_{ x\to0 } \frac{\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)\right)^2-x^2}{x^2\sin^{2}x}=
\lim_{ x\to0 } \frac{x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)-x^2}{x^2\sin^{2}x}=
\lim_{x\to0} \frac{x^2}{\sin^2x}\left(-\frac{1}{3}+o(1)\right)=-\frac{1}{3}}\).-- 23 mar 2011, o 16:20 --Pomyliło mi się. Tamto powyższe też było ze wzoru Taylora.

[tajner]

To się bierze z analizy wyższej, ale można też to zadanie zrobić korzystając tylko ze wzoru Taylora.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)\right)^2-x^2}{x^2\sin^{2}x}=
\lim_{ x\to0 } \frac{x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)-x^2}{x^2\sin^{2}x}=
\lim_{x\to0} \frac{x^2}{\sin^2x}\left(-\frac{1}{3}+o(1)\right)=-\frac{1}{3}}\).

Pomyliło mi się. Tamto powyższe też było ze wzoru Taylora.

Oj czy na pewno tak wydaje mi się że przy przy drugim przejściu w powinno być zgodnie z wzrokiem skróconego mnożenia

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)\right)^2-x^2}{x^2\sin^{2}x}=
\lim_{ x\to0 } \frac{x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+o(x^4)-x^2}{x^2\sin^{2}x}}\).

[norwimaj]

Oj czy na pewno tak wydaje mi się że przy przy drugim przejściu w powinno być zgodnie z wzrokiem skróconego mnożenia

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)\right)^2-x^2}{x^2\sin^{2}x}=
\lim_{ x\to0 } \frac{x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+o(x^4)-x^2}{x^2\sin^{2}x}}\).

Wyrażenie \(\displaystyle{ x^6}\) zostało wchłonięte przez \(\displaystyle{ o(x^4)}\), podobnie jak inne składniki, np. \(\displaystyle{ x\;o(x^4)}\).

Jeśli chodzi o zadanie pierwsze, to myślę że się pomyliłeś przy przepisywaniu, bo jest trywialne.

Jeśli miał być minus w wykładniku, to możesz zrobić podstawienie \(\displaystyle{ y=\frac{1}{x}}\) i wtedy też wychodzi, choćby nawet z de l'Hospitala.

[tajner]

Ja nie wiem jak to idzie z tym wchłanianiem miałem rozwijanie funkcji w szereg w Taylora i na końcu takiego szeregu była reszta Langraga'e i nie miałem tego symbolu \(\displaystyle{ o \frac{1}{x^2}}\). Niech ktoś wytłumaczy mi to zadanko mając do wyboru tylko te rzeczy.

Uwierz mi 2 jest dobrze przepisane:)

[norwimaj]

Ja nie wiem jak to idzie z tym wchłanianiem miałem rozwijanie funkcji w szereg w Taylora i na końcu takiego szeregu była reszta Langraga'e i nie miałem tego symbolu \(\displaystyle{ o \frac{1}{x^2}}\). Niech ktoś wytłumaczy mi to zadanko mając do wyboru tylko te rzeczy.

To jest rzecz bardziej elementarna niż reszta Lagrange'a, bo to jest reszta Peano. Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-krotnie różniczkowalna w \(\displaystyle{ x_0}\), to
\(\displaystyle{ f(x_0+x)=\sum_{k=0}^nf^{(k)}(x_0)\cdot\frac{x^k}{k!}+r(x)}\),
gdzie \(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{r(x)}{x^n}=0}\).

Notacja \(\displaystyle{ o}\) służy tylko uproszczeniu zapisu, przy jednoczesnym zachowaniu ścisłości rozumowania. Możesz się na to twierdzenie powoływać również bez stosowania notacji \(\displaystyle{ o}\).

Uwierz mi 2 jest dobrze przepisane:)

Chodziło mi, że pierwsze jest źle przepisane. Zwłaszcza jeśli ma wyjść zero, bo tak jak jest, to wychodzi:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{e^{\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}=\frac{+\infty}{0^+}=+\infty}\).

Jeśli miał być minus w wykładniku, to możesz zrobić podstawienie \(\displaystyle{ y=\frac{1}{x}}\) i wtedy też wychodzi, choćby nawet z de l'Hospitala.

Oczywiście żart. Wiadomo że każdy by podstawił \(\displaystyle{ y=\frac{1}{x^2}}\).

[tajner]

Dobrze czyli w zapisie z resztą Lagrange'a jakby to wyglądało. Bo na kolokwium chcę stosować rzeczy które były wyjaśnione na zajęciach
Wydaje mi się że będzie tak...
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{\left(x-\frac{x^3}{6}+R_x)^2-x^2}{x^2\sin^{2}x}}\)

A dalej jak bo ja nie miałem w żadnym przykładzie żadnego wchłaniania.

Pierwszy też jest dobrze przepisany.