Całka oznaczona przez podstawienie

[micsmi]

\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \sqrt{3} } \sqrt{ x^{2} + 1} dx}\)
W zadaniu jest narzucona metoda. Należy wstawić za x sinus hiperboliczny czyli x = sht.
Wymyśliłem tyle:
\(\displaystyle{ x = sht}\)
\(\displaystyle{ dx = cht dt}\)
W rezultacie otrzymałem taką całkę:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{ sh^{2}t + 1 } \cdot cht dt = \left| \sqrt{sh^{2}t + 1 } = \sqrt{ch^{2}t} = cht \right| = \int_{}^{} ch^{2}t dt}\)
Nie wiem tylko jak zmienią się granice całkowania. I co dalej???

[Mariusz M]

Dalej to albo całkujesz przez części albo zamienasz na funkcje hiperboliczne wielokrotności kąta
(podobnie jak w przypadku funkcji trygonometrycznych)

[micsmi]

Przez części to raczej nic nie wyjdzie, a jeśli chodzi o ten twój drugi sposób to nie jarzę. Napisz rozwiązanie.

[breakout]

podstawiasz po prostu \(\displaystyle{ cht= \frac{e^t+e^{-t}}{2}}\)

[Mariusz M]

breakout, mnie chodziło o takie coś

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cosh^{2}{x}-\sinh^{2}{x}=1\\
\cosh^{2}{x}+\sinh^{2}{x}=\cosh{2x}
\end{cases}}\)

Przez części też powinno wyjść
(całkując przez części korzystasz z jedynki hiperbolicznej)

Czyli wykorzystujesz analogię do funkcji trygonometrycznych

Przez części

\(\displaystyle{ \int{\cosh{t}\cosh{t}\mbox{d}t}=\cosh{t}\sinh{t}-\int{\sinh^{2}{t}\mbox{d}t}\\
2\int{\cosh{t}\cosh{t}\mbox{d}t}=\cosh{t}\sinh{t}+\int{\left(\cosh^{2}{t}- \sinh^{2}{t}\right) \mbox{d}t}\\
2\int{\cosh^{2}{t}\mbox{d}t}=\cosh{t}\sinh{t}+\int{\mbox{d}t}\\
\int{\cosh^{2}{t}\mbox{d}t}= \frac{1}{2}\left(\cosh{t}\sinh{t}+t \right)+C}\)


Zamiana na sumę funkcji hiperbolicznych wielokrotności kąta

\(\displaystyle{ \int{\cosh^{2}{t}\mbox{d}t}= \frac{1}{2}\int{\left( 1+\cosh{2t}\right) \mbox{d}t }\\
=\frac{1}{2}\left( t+\frac{1}{2}\sinh{2t}\right)+C\\
=\frac{1}{2}\left( t+\cosh{t}\sinh{t}\right)+C\\}\)


Jak się będą zmieniały granice ?

Mamy

\(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}\left( e^{t}-e^{-t}\right)\\
2x=e^{t}-\frac{1}{e^{t}}\\
u=e^{t}\\
2x=u-\frac{1}{u}\\
2xu=u^2-1\\
u^{2}-2xu-1=0\\
\Delta=4x^2+4\\
u=\frac{2x+2 \sqrt{x^2+1} }{2}\\
u=x+\sqrt{x^2+1}\\
e^{t}=x+\sqrt{x^2+1}\\
t=\ln{\left|x+\sqrt{x^2+1} \right| }}\)



Taką mamy dzisiaj edukację używają podstawień hiperbolicznych bez wcześniejszego wprowadzenia funkcji hiperbolicznych

[micsmi]

Nigdy czegoś takiego bym nie wymyślił. Dzięki. Dokładnie tak jak napisałeś na końcu. Na liście zadań miałem takie zadanie, a nigdy nie spotkałem się z f. hiperbolicznymi.

[Mariusz M]

micsmi, na marginesie dodam że gdyby nie było to narzucone
treścią zadania to nie potrzeba by było korzystać z tego podstawienia
ponieważ podstawienia Eulera sprowadzą całkę do całki z funkcji wymiernej
a podstawienie cyklometryczne sprowadzi całkę do całki z funkcji trygonometrycznej