Pochodna złożona

[Losterin]

Witam.

Mam pewien przykład, z którym nie mogę sobie poradzić:

\(\displaystyle{ f(x) =\left( x+1)\right \cdot \sqrt{2-3x- 4x^{2} } + \arcsin \frac{x+1}{x}}\)

Trzeba zastosować wzory na mnożenie, pierwiastek, arcsin i dzielenie, tak?

Czyli by wyszło coś takiego:

\(\displaystyle{ f'(x) = (x+1)' \cdot \sqrt{2-3x- 4x^{2} } + (x+1) \cdot \sqrt{2-3x- 4x^{2} }' + \frac{1}{1- (\frac{ \sqrt{x+1} }{x})^{2} } \cdot \frac{(x+1)' \cdot x - (x+1) \cdot x'}{x^{2}}}\)

A pochodna z tego pierwiastka by była następująca: \(\displaystyle{ (-3-8x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2-3x-4x^2} }}\)

Dobrze? Czy już gdzieś popełniłem błąd?

Proszę wyrozumiałość, dopiero co zaczynam przygodę z pochodnymi

[Qń]

Prawie dobrze, z jednym wyjątkiem - zapomniałeś o pierwiastku:
\(\displaystyle{ \left( \arcsin t\right) '=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}}\)

Q.

[kuma]

Pochodna pierwiastka ok jest, ale zle wzor na pochodna arcsin. to co jest funkcja wewnetrzna arcsin juz dobrze rozbisz, ale spojrz na wzor pochodnej arcsinx

[Losterin]

mbilYyy... Czyli coś takiego?

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } \cdot \frac{1}{1- (\frac{ \sqrt{x+1} }{x})^{2} }}\)

[JakimPL]

Nie.

\(\displaystyle{ \left[\frac{1}{1- \left(\frac{ \sqrt{x+1} }{x}\right)^{2} }\right]\ \longrightarrow \left[\frac{1}{\sqrt{1- \left(\frac{ x+1} {x}\right)^{2}} }\right]}\)

Całym naszym argumentem jest tutaj \(\displaystyle{ \frac{x+1}{x}}\).

[Losterin]

Doszedłem do takiej postaci:

\(\displaystyle{ = \sqrt{2-3x-4x^2} + \frac{-19x-3}{2 \sqrt{2-3x-4x^2} } + \frac{1}{ \sqrt{1- (\frac{x+1}{x})^2 } * x^2 }}\)

I teraz na pewno trzeba sprowadzić wszystko do wspólnego mianownika, tylko że ten trzeci ułamek bardzo dużo komplikuje (mam ogromne braki i nie potrafię tego uprościć).

[JakimPL]

Nie sprawdzałem, czy to, co otrzymałeś, jest ok, ale zajmijmy się samym "trudnym ułamkiem". Rozpiszemy nasz argument ze wzoru skróconego mnożenia, po czym sprowadzimy mianownik do dzielnika ułamka wewnętrznego. Następnie włączymy \(\displaystyle{ x^2}\) pod pierwiastek, ażeby pozbyć się tego dzielnika

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2\sqrt{1- \left(\frac{ x+1} {x}\right)^{2}} } = \frac{1}{x^2\sqrt{1- \frac{ \left(x+1\right)^2} {x^2}} } = \frac{1}{x^2\sqrt{1- \frac{x^2+2x+1} {x^2}} }\right= \frac{1}{x^2\sqrt{\frac{x^2-x^2+2x+1} {x^2}} }= \frac{1}{\sqrt{x^4 \cdot \frac{2x+1} {x^2}} }= \frac{1}{\sqrt{x^2 \left(2x+1\right)} }= \frac{1}{x \sqrt{\left(2x+1\right)} }}\)

[Losterin]

Dziękuję za pomoc

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \ldots = \frac{1}{x^2\sqrt{1- \frac{x^2+2x+1} {x^2}} }\right= \frac{1}{x^2\sqrt{\frac{x^2-x^2+2x+1} {x^2}} }= \ldots = \frac{1}{\sqrt{x^2 \left(2x+1\right)} }= \frac{1}{x \sqrt{\left(2x+1\right)} }}\)

Błąd w sprowadzaniu do wspólnego mianownika, poza tym \(\displaystyle{ \sqrt{x^2} = |x| = -x,}\) bo dziedzina funkcji (którą BTW warto by policzyć przy liczeniu pochodnej) zawiera same liczby ujemne.

Doszedłem do takiej postaci:

\(\displaystyle{ = \sqrt{2-3x-4x^2} + \frac{-19x-3}{2 \sqrt{2-3x-4x^2} } + \frac{1}{ \sqrt{1- (\frac{x+1}{x})^2 } * x^2 }}\)

Drugi składnik raczej źle, powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{(x+1)(-8x-3)}{2 \sqrt{2-3x-4x^2}},}\) zaś ostatni składnik powinien być obdarzony minusem, bo \(\displaystyle{ \left( \frac{x+1}{x} \right)' = 1' + \left( \frac{1}{x} \right)' = -\frac{1}{x^2}.}\)

[JakimPL]

Faktycznie. Przepraszam za błąd.