Mam do udowodnienia nastepujace twierdzenia. Nie wiem czy dobrze robie, totez wszelkie wasze sugestie, rady, czy komentarze beda mi bardzo pomocne. Bede tez wdzieczny za wskazowki jak zapisac to bardziej matematycznym jezykiem.
a) Suma kwadratów dwoch kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 4
zalozenie: a i a+2 sa podzielne przez 2
teza: kwadrat a + kwadrat a+2 jest podzielny przez 4
dowod: zakładamy ze a=2m i a+2 = 2m+2, dla pewnej liczby naturalnej m
w takim razie: kwadrat 2m + kwadrat 2m+2 = 4m + 4m + 4 = 8m + 4
Poniewaz liczba 8m + 4 jest podzielna przez 4, wiec kwadrat a + kwadrat a+2 takze jest podzielny przez 4. Co nalezalo udowodnic.
b) Suma kwadratów dwoch kolejnych liczbpodzielnych przez 3 jest podzielna przez 9
zalozenie: a i a+3 sa podzielne przez 3
teza: kwadrat a + kwadrat a+3 jest podzielny przez 9
dowod: zakładamy ze a=3m i a+3 = 3m+3, dla pewnej liczby naturalnej m
w takim razie: kwadrat 3m + kwadrat 3m+3 = 9m + 9m + 9 = 18m + 9
Poniewaz liczba 18m + 9 jest podzielna przez 9, wiec kwadrat a + kwadrat a+3 takze jest podzielny przez 9. Co nalezalo udowodnic.
c) Suma kwadratów dwoch kolejnych liczb podzielnych przez 5 jest podzielna przez 25
zalozenie: a i a+5 sa podzielne przez 5
teza: kwadrat a + kwadrat a+5 jest podzielny przez 25
dowod: zakładamy ze a=5m i a+5 = 5m+5, dla pewnej liczby naturalnej m
w takim razie: kwadrat 5m + kwadrat 5m+5 = 25m + 25m + 5 = 50m + 25
Poniewaz liczba 50m + 25 jest podzielna przez 25, wiec kwadrat a + kwadrat a+5 takze jest podzielny przez 5. Co nalezalo udowodnic.
Z ponizszym twierdzeniem mam najwiecej klopotow i nie wiem czy dobrze robie.
d) Suma kwadratów dwoch kolejnych liczb nieparzystych jest liczba parzysta
zalozenie: a i a+2 sa liczbami nieparzystymi
teza: kwadrat a + kwadrat a+2 jest podzielny przez 2
dowod: zakładamy ze a=2m i a+2 = 2m+2, dla pewnej liczby naturalnej m
w takim razie: kwadrat 2m + kwadrat 2m+2 = 4m + 4m + 4 = 8m + 4
Poniewaz liczba 8m + 4 jest podzielna przez 2, wiec kwadrat a + kwadrat a+2 takze jest podzielny przez 2. Co nalezalo udowodnic.
Udowodnij ze suma kwadratow...
Udowodnij ze suma kwadratow...
Ostatnio zmieniony 29 paź 2006, o 14:43 przez tgrs, łącznie zmieniany 1 raz.
-
jasny
- Użytkownik
- Posty: 832
- Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limanowa
- Pomógł: 191 razy
Udowodnij ze suma kwadratow...
Ciekawie podnosisz do kwadratu...
\(\displaystyle{ (3m+3)^2=9m+9}\)...
Po pierwsze zaznajom się z TeXem, po drugie ze wzorami skróconego mnożenia.
To przykładowo napiszę ten ostatni dowód:
Założenie: \(\displaystyle{ a=2m-1,\, b=2m+1\,m\in C}\) - kolejne liczby nieparzyste
Teza: \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{2}\in C}\)
Dowód:\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{2}=\frac{1}{2}(4m^2-4m+1+4m^2+4m+1)= \frac{1}{2}(8m^2+2)=4m^2+1\in C}\)
c.k.d.
\(\displaystyle{ (3m+3)^2=9m+9}\)...
Po pierwsze zaznajom się z TeXem, po drugie ze wzorami skróconego mnożenia.
To przykładowo napiszę ten ostatni dowód:
Założenie: \(\displaystyle{ a=2m-1,\, b=2m+1\,m\in C}\) - kolejne liczby nieparzyste
Teza: \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{2}\in C}\)
Dowód:\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{2}=\frac{1}{2}(4m^2-4m+1+4m^2+4m+1)= \frac{1}{2}(8m^2+2)=4m^2+1\in C}\)
c.k.d.
Udowodnij ze suma kwadratow...
Przepraszam.
Ale poza tym ze sie walnalem na mnozeniu to dowody a,b i c sa dobre?
Ale poza tym ze sie walnalem na mnozeniu to dowody a,b i c sa dobre?
-
jasny
- Użytkownik
- Posty: 832
- Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limanowa
- Pomógł: 191 razy
Udowodnij ze suma kwadratow...
w wielkim uproszczeniu:
a)\(\displaystyle{ (2m)^2+(2m+2)^2=4m^2+4(m+1)^2=4(m^2+(m+1)^2)}\)
b)\(\displaystyle{ (3m)^2+(3m+3)^2=9(m^2+(m+1)^1)}\)
c)\(\displaystyle{ (5m)^2+(5m+5)^2=25(m^2+(m+1)^2)}\)
a)\(\displaystyle{ (2m)^2+(2m+2)^2=4m^2+4(m+1)^2=4(m^2+(m+1)^2)}\)
b)\(\displaystyle{ (3m)^2+(3m+3)^2=9(m^2+(m+1)^1)}\)
c)\(\displaystyle{ (5m)^2+(5m+5)^2=25(m^2+(m+1)^2)}\)