[Teoria liczb] Suma cyfr potęg liczby 3

adriano1992 · Post autor: **adriano1992** » 14 mar 2011, o 20:37

1) Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele takich \(\displaystyle{ n \in N}\), że suma cyfr liczby \(\displaystyle{ 3^{n}}\) jest niemniejsza niż suma cyfr liczby \(\displaystyle{ 3^{n+1}}\).

2) Czy w powyższej tezie liczbę 3 można zastąpić inną liczbą naturalną?

Emce1 · Post autor: **Emce1** » 14 mar 2011, o 21:17

z cyklu "ale zabawne łohoho" 2): Tak, jedynką

Swistak · Post autor: **Swistak** » 14 mar 2011, o 21:26

1) \(\displaystyle{ 3^n<10^{\frac{n}{2}} \Rightarrow S(3^n)<9\cdot(\frac{n}{2}+1)}\), ale z drugiej strony \(\displaystyle{ 9|S(3^n)}\) dla n>1, zatem jeżeli teza by nie zachodziła, to od pewnego momentu byłoby \(\displaystyle{ S(3^{n+1}) \ge S(3^n)+9}\), co jest oczywistą sprzecznością z wcześniejszym ograniczeniem.

adriano1992 · Post autor: **adriano1992** » 16 mar 2011, o 18:42

Emce1 pisze:z cyklu "ale zabawne łohoho" 2): Tak, jedynką

Może to zignoruję i poczekam na konstruktywną odpowiedź.

KPR · Post autor: **KPR** » 16 mar 2011, o 20:57

Tak, dziesiątką.

Swistak · Post autor: **Swistak** » 16 mar 2011, o 22:37

Tak, setką .

Post autor: **smigol** » 16 mar 2011, o 22:57

Hmm... a tysiącem można?