wykazać całkowitość współczynników

[MrVonzky]

Wielomian W jest wielomianem stopnia 5 i spełnia warunki: W(3)=1 oraz W(-3)=2. Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są liczbami całkowitymi.

proszę mi powiedzieć, dlaczego mój sposób jest niepoprawny.

dany jest wielomian:
\(\displaystyle{ ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0}\)

Zakładam, że wszystkie współczynniki tego wielomianu są liczbami całkowitymi.

\(\displaystyle{ W(3)=a3^5+b3^4+c3^3+d3^2+e3+f=1}\) i \(\displaystyle{ W(-3)=a(-3)^5+b(-3)^4+c(-3)^3+d(-3)^2+e(-3)+f=2}\)
\(\displaystyle{ 3(a3^4+b3^3+c3^2+d3+e)=1-f}\)i \(\displaystyle{ -3(a(-3)^4+b(-3)^3+c(-3)^2+d(-3)+e)=2-f}\)
\(\displaystyle{ (a3^4+b3^3+c3^2+d3+e)=\frac{1-f}{3}}\) i \(\displaystyle{ (a(-3)^4+b(-3)^3+c(-3)^2+d(-3)+e)=\frac{2-f}{-3}}\)
z założenia liczby: \(\displaystyle{ (a3^4+b3^3+c3^2+d3+e)}\)i \(\displaystyle{ (a(-3)^4+b(-3)^3+c(-3)^2+d(-3)+e)}\) są całkowite, więc \(\displaystyle{ \frac{1-f}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2-f}{-3}}\) też muszą być całkowite.

\(\displaystyle{ 1-f}\)oraz \(\displaystyle{ 2-f}\) muszą należeć do zbioru liczb \(\displaystyle{ {+-3,+-6,+-9...}}\)
jedyne \(\displaystyle{ f}\), które spełnia oba warunki to \(\displaystyle{ f=\frac{3}{2} \neq C}\), zatem sprzeczność. CNU.

[Psiaczek]

Przepraszam, ze nie chce mi sie szukac bledu( nie wiem czy jest) w twoim sposobie, bo znalazlem bardzo prosty sposob: dodaj stronami rownania na \(\displaystyle{ W(3)}\) i \(\displaystyle{ W(-3)}\), z jednej strony otrzymasz trójkę, a z drugiej da się dwójka przed nawias wyciągnąć, wiec bylaby przy calkowitych wspolczynnikach sprzecznosc.

[MrVonzky]

a mógłbyś przejrzeć moje ?

[Qń]

\(\displaystyle{ \frac{1-f}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2-f}{-3}}\) też muszą być całkowite.
\(\displaystyle{ 1-f}\)oraz \(\displaystyle{ 2-f}\) muszą należeć do zbioru liczb \(\displaystyle{ {+-3,+-6,+-9...}}\)
jedyne \(\displaystyle{ f}\), które spełnia oba warunki to \(\displaystyle{ f=\frac{3}{2} \neq C}\), zatem sprzeczność. CNU.

To uzasadnienie jest co najmniej mocno nieścisłe (pomijając już nawet fakt, że podane \(\displaystyle{ f}\) nie spełnia żadnego z tych dwóch warunków).

Poprawnie byłoby na przykład tak:
\(\displaystyle{ 2-f}\) i \(\displaystyle{ 1-f}\) muszą być podzielne przez trzy. Są to jednak liczby całkowite różniące się o jeden, a zatem obie nie mogą dzielić się przez trzy. Otrzymania sprzeczność dowodzi, że nasz wielomian nie może mieć wszystkich współczynników całkowitych.

Q.

[MrVonzky]

dzięki, no ale w moim napisałem do jakiego zbioru powinna należeć litera f i nie jest w stanie należeć do dwóch jednocześnie, tylko i wyłącznie dla jednego przypadku, który jest sprzenością z założeniem. Rozumiem, że takie uzasadnienie jest niepoprawne?

[Qń]

Nie uzasadniłeś dlaczego obie z liczby \(\displaystyle{ 1-f}\) i \(\displaystyle{ 2-f}\) nie mogą należeć do zbioru liczb całkowitych podzielnych przez trzy (czyli mówiąc krótko: nie mogą być podzielne przez trzy). Zatem w Twoim rozwiązaniu jest poważna luka.

Q.

[MrVonzky]

a nie mogę poprostu napisać tak, że f które spełniałoby taki układ to \(\displaystyle{ \frac{1-f}{3}=\frac{2-f}{3}}\)?

[Qń]

Chodzi Ci o to, że jeśli \(\displaystyle{ 2-f}\) i \(\displaystyle{ 1-f}\) są podzielne przez trzy, to musi być \(\displaystyle{ \frac{1-f}{3}=\frac{2-f}{3}}\)?
Niby dlaczego by tak musiało być?

Q.

[MrVonzky]

no wydaje mi się że tak. Nie ma takiego całkowitego f, spełniającego równość,a f musi takie być. Złe rozumowanie?

[Qń]

Nie no, oczywiście to jest prawda, podobnie jak prawdą jest, że jeśli \(\displaystyle{ 2-f}\) i \(\displaystyle{ 1-f}\) są liczbami całkowitymi podzielnymi przez trzy, to mam czterdzieści cztery nogi, a pojutrze nad Kuala Lumpur nadleci stado różowych słoni śpiewających Marsyliankę.

Ale możemy stwierdzić, że to jest prawdą wyłącznie jeśli już wiemy, że \(\displaystyle{ 2-f}\) i \(\displaystyle{ 1-f}\) nie mogą być jednocześnie podzielne przez trzy. Tymczasem tutaj zakładamy, że tego jeszcze nie wiemy i dopiero mamy to udowodnić.

Jeśli chcesz skorzystać z faktu, że jeśli dwie liczby są podzielne przez trzy, to ich trzecie części muszą być równe, tzn. \(\displaystyle{ (3|a) \wedge (3|b) \Rightarrow \frac a3=\frac b3}\)- to taki fakt nie jest prawdziwy. Nie zgadza się chociażby dla \(\displaystyle{ a= 3,b=6}\).

Q.