Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Dane są punkty \(\displaystyle{ X_1, X_2, ..., X_n}\). Pewien okrąg o promieniu \(\displaystyle{ R}\) otacza niektóre
z nich (być może wszystkie, ale nie \(\displaystyle{ 0}\)). Konstruujemy kolejny okrąg o promieniu \(\displaystyle{ R}\)
i środku w środku masy układu punktów otoczonych przez poprzedni okrąg. Czynność
powtarzamy, to znaczy konstruujemy \(\displaystyle{ k}\)-ty okrąg o promieniu \(\displaystyle{ R}\) i środku w
środku masy układu punktów otoczonych przez okrąg \(\displaystyle{ k-1}\)-szy dla \(\displaystyle{ k = 3, 4, 5, . . .}\)
Rozstrzygnąć, czy zawsze od pewnego momentu okręgi zaczną się pokrywać.
Zaczną.
Niech \(\displaystyle{ R_k}\) oznacza \(\displaystyle{ k}\)-ty okrąg. Niech \(\displaystyle{ T_k}\) oznacza
zbiór indeksów punktów otoczonych przez \(\displaystyle{ R_{k-1}}\). Niech \(\displaystyle{ O_k}\) będzie środkiem \(\displaystyle{ R_k}\). Wówczas \(\displaystyle{ O_k}\) jest środkiem ciężkości punktów o indeksach z \(\displaystyle{ T_k}\). Niech ponadto: \(\displaystyle{ f(k)= \sum_{_i \in T_{k+1}} P(R_k,X_i)}\), gdzie\(\displaystyle{ P(O,A)}\) to potęga punktu \(\displaystyle{ A}\) względem okręgu \(\displaystyle{ O}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ f(k+1) \le f(k)}\), przy czym równość zachodzi tylko, gdy \(\displaystyle{ R_k=R_{k+1}}\). Jako ,że \(\displaystyle{ f}\) może przyjąć tylko skończenie wiele wartości, oznacza to że dla pewnego \(\displaystyle{ m}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(m)=f(m+1)}\), co pociągnie za sobą tezę.
Niech \(\displaystyle{ A=T_{k+1} \cap T_{k+2}}\) \(\displaystyle{ B=T_{k+1} \setminus T_{k+2}}\) \(\displaystyle{ C=T_{k+2} \setminus T_{k+1}}\).
Wówczas : \(\displaystyle{ f(k)= \sum_{i \in A \cup B} X_iO_k^2 - (|A|+|B|)R^2}\), oraz \(\displaystyle{ f(k+1)= \sum_{i \in A \cup C} X_iO_{k+1}^2 - (|A|+|C|)R^2}\).
Stąd i z tw. Steinera mamy: \(\displaystyle{ \sum_{i \in A \cup C} X_iO_{k+1}^2= \sum_{i \in A \cup B} X_iO_{k+1}^2 + \sum_{i \in C} X_iO_{k+1}^2 - \sum_{i \in B} X_iO_{k+1}^2=\sum_{i \in A \cup B} X_iO_{k}^2-(|A|+|B|)O_kO_{k+1}^2+ \sum_{i \in C} X_iO_{k+1}^2 - \sum_{i \in B} X_iO_{k+1}^2}\),
zatem: \(\displaystyle{ f(k+1)=f(k)+(|A|+|B|)R^2-(|A|+|B|)O_kO_{k+1}^2+ \sum_{i \in C} X_iO_{k+1}^2 - \sum_{i \in B} X_iO_{k+1}^2-(|A|+|C|)R^2=f(k)+(|B|-|C|)R^2-(|A|+|B|)O_kO_{k+1}^2+ \sum_{i \in C} X_iO_{k+1}^2 - \sum_{i \in B} X_iO_{k+1}^2=f(k)-(|A|+|B|)O_kO_{k+1}^2+ \sum_{i \in C}P(X_i,R_{k+1})-\sum_{i \in B}P(X_i,R_{k+1}) \le f(k)-(|A|+|B|)O_kO_{k+1}^2}\).
W połączeniu ze wcześniejszym wnioskami kończy to dowód tezy.
Pozdrawiam wszystkich na południe od Warszawy i wszystkich na północ od Warszawy!
