Grupa przemienna

[PowerMan]

Witam, czy ktoś mógłby udzielić wskazówek do następujących zadań? :

1. Pokaż, że jeśli każdy element w grupie jest odwrotny do siebie, to grupa jest przemienna
przemienność: przemienne, gdy \(\displaystyle{ \vee a,b}\) \(\displaystyle{ a \cdot b=b \cdot a}\), odwrotny: odwrotny gdy \(\displaystyle{ a \cdot b=e \wedge b \cdot a=e}\). Co z tym dalej?

2.Udowodnij, że skończony monoid, w którym zachodzi jedno z praw skracania jest grupą.
Wskazówka:rozważ ci¡g elementów a; aa; aaa; aaaa; : : :.

3. Wyznacz wszystkie izomorfizmy pomiędzy grupą obrotów kwadratu, a grupą (Z4; +4)
do tego znalazłem to: https://www.matematyka.pl/112626.htm ale niewiele mi to mówi
/ta grupa (Z4; +4) wyglada chyba tak?:
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 5 7 1
2 2 7 1 2
3 3 1 2 5
/
Grupa kwadratu znacznie większa, zawiera też identyczności.
Jak wyznaczyć te izomorfizmy?

Niektóre były w starych tematach rozwiązane, lecz nie przemawiały do mnie zbytnio. Jeśli to możliwe to prosiłbym o 'łopatologiczne' przedstawienie.

[szw1710]

1. Tzn. dla każdego \(\displaystyle{ x\in G}\) mamy \(\displaystyle{ xx=e}\)

Ustalmy \(\displaystyle{ a,b\in G}\)

\(\displaystyle{ e=abab\\ a=aabab=(aa)bab=bab\\ a=bab\\ ab=babb=ba(bb)=ba}\)