Problem z liczbą 0,(9)

Dyskusje o matematykach, matematyce... W szkole, na uczelni, w karierze... Czego potrzeba - talentu, umiejętności, szczęścia? Zapraszamy do dyskusji :)
Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 686
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut »

Jak zapisać liczbę 0,(9) w postaci ułamka zwykłego.
Awatar użytkownika
Uzo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1137
Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 139 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Uzo »

Niech x=0,(9) , czyli


x=0,999... |*10
10x=9,999...

odejmując równania stronami
-9x=-9 |:(-9)
x=1

czyli 0,(9) = 1
Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 686
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut »

Ale przecież: 1=1,000...
0,(9)≈1 to tylko przybliżona wartość,
a mi chodziło o dokładne rozwiązanie (którego chyba nie ma)
Awatar użytkownika
Uzo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1137
Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 139 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Uzo »

0,(9) w przeliczeniu na ułamek zwykły( tak jak to zrobiłem) to 1 Ale faktycznie jakby na to , nie patrzeć to jest to przybliżenie
Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 686
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut »

Więc nie da się tego zapisać w postaci ułamka zwykłego (bez przybliżenia)?
A skoro tak, to prawdą jest, że liczba 0,(9) nie jest liczbą wymierną?
No bo liczba wymierna to taka, którą da się przedstawić w postaci ilorazu dwuch liczb całkowitych.
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Tristan »

Zapoznaj się lepiej z

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node57.html
, a wszystko stanie się jasne.
Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 686
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut »

Ale moje pytanie brzmiało: Jak zapisać liczbę 0,(9) w postaci ułamka zwykłego? Czy to możliwe?
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Tristan »

Czy Ty aby na pewno przeczytałeś cały materiał zawarty w tym linku? Bo jeśli tak, to potrafisz sobie odpowiedzieć na to pytanie.
Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 686
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut »

Przepraszam, wcześniej nie zauważyłem tego linka.

Mam jeszcze wątpliwości:
Jeśli zgodzimy się z tym, że 0,(9)=1, to musimy się zgodzić z tym, że dzieląc jakiś odcinek ciągle np. na pół, otrzymamy wkońcu 0, a przecież to nieprawda, bo długość będzie dążyć do zera, ale nim nigdy nie będzie.

Wydaje mi się, że w tym temacie było coś podobnego:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=18762
i padło tam stwierdzenie:
Rogal pisze:Nawet hipotetycznie jeśli będziemy dodawać do siebie nieskończenie wiele odcinków to jeśli tylko tworzą ciąg geometryczny malejący to wynik jest jak najbardziej skończony. Dla przekonania się polecam narysować sobie dość długi odcinek, podzielić na pół, połówkę podzielić na pół, tą półówkę z kolei znowuż na pół i tak sobie dziel do nieskończoności (tyle spokoju będzie ; p), a i tak w sumie otrzymasz cały odcinek, nic poza tym.
Ostatnio zmieniony 28 paź 2006, o 02:04 przez Bierut, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Undre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1430
Rejestracja: 15 lis 2004, o 02:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja:
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 92 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Undre »

Uzo pisze: x=0,999... |*10
10x=9,999...
Heh, nie wiem jakie zdanie mają na ten temat inni, ale ten chwyt z mnożeniem zawsze mi się wydawał taki "o kant dupy" ( i w pierwszym temacie na tym forum odnośnie tej całej kwestii, który to chyba gdzieś przepadł, ktoś się tego mnożenia uczepił w przekonywujący mnie sposób ), dowodzenie prawdziwości tej równości za pomocą sumowania wyrazów ciągu jest imho bardziej solidne
Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 686
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut »

Tristan pisze:Zapoznaj się lepiej z

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node57.html
, a wszystko stanie się jasne.
Myśląc w sposób przedstawiony na tamtej strony, możemy powiedzieć:
Ile dziewiątek po przecinku należy zapisać, aby wkońcu było równe jeden (no właśnie, nie ma takiej ilości).
Powiedzmy jedna dziewiątka po przecinku: 0,9
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Tristan »

Cóż, to może z innej strony...
Czy zgodzisz się z faktem, że \(\displaystyle{ \frac{3}{9}=\frac{1}{3}=0,(3)}\)? Jeśli tak, to zgodzisz się z tym, że \(\displaystyle{ 1=\frac{9}{9}= \frac{3}{9}+\frac{3}{9} + \frac{3}{9}=0,(3)+0,(3)+0,(3)=0,(9)}\).
Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 686
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut »

Więc zapis 0,(9) jest nieprawidłowy i nie powinno się go stosować?
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Tristan »

Skądże znowu taki wniosek? Zapis 0,(9) jest jak najbardziej prawidłowy. Może gdy będziesz miał szeregi i granice, łatwiej przyjdzie Ci zrozumienie, że 0,(9) rzeczywiście równe jest 1.
Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 686
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut »

Ale czy moje rozumowanie z przed czterech postów nie jest prawidłowe (z tym dopisywaniem dziewiątek w nieskończoność).
ODPOWIEDZ