Oblicz granice f

[matbu1988]

Prosze o pomoc jak to ugryzc, myslalem o liczbie e ale nie wiem do konca jak to sie stosuje w praktyce,pozdrawiam:)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to + \infty } \left( \frac{x-3}{x+2} \right) ^{2x+1}}\)

[JakimPL]

Tak, będzie to coś z \(\displaystyle{ e}\).

Zamień \(\displaystyle{ \frac{x-3}{x+2} = \frac{x+2-5}{x+2}=1-\frac{5}{x+2}}\). Po drobnych przekształceniach otrzymamy:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to + \infty } \left(\left(1-\frac{5}{x+2}\right) ^{x+\frac{1}{2}}\right)^2}\)

Spójrz teraz na wzór granicy i do dzieła .

Ukryta treść:    

Uogólniony wzór na granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to + \infty } \left(1+\frac{j}{kx+l}\right)^{mx+n} = e^{\frac{jm}{k}}}\)

[matbu1988]

troche sie pogubilem w tym...nie bardzo wiem co dalej...skorzystac z tego ze e do ln z "f" x "g" i potem De Hospitalem?

-- 10 mar 2011, o 18:57 --

Kuźwa sorry nie zauwazylem koncowki Twojej odpowiedzi, bo nie dalem "rozwiń". Juz wszystko czaje, dzieki pozdro -- 10 mar 2011, o 19:15 --a jeszcze jeden przyklad mam, jesli mozna

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } (1+2x) ^{ \frac{4}{x} }}\)

[alfgordon]

znowu korzystasz z def. liczby \(\displaystyle{ e}\)

[matbu1988]

ale jak? chce sie komus to rozpisac latexowo?

[Inkwizytor]

ale musisz rozpatrzec dwie granice prawo i lewostronną

a potem można zastosować odpowiednie podstawienia \(\displaystyle{ k= \frac{1}{x}}\)

[Psiaczek]

ale jak? chce sie komus to rozpisac latexowo?

Lateksowo mi sie nie chce ale zobacz ze \(\displaystyle{ \tfrac4x=\tfrac1{2x}\cdot8}\), czyli granica wyjdzie e do osmej

[JakimPL]

\(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}}\)

Przejdźmy na granicę odwrotności:

\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty } \left(1+\frac{2}{t}\right) ^{4t }=e^8}\)

Inkwizytor, granice jednostronne są sobie równe.

[Inkwizytor]

Inkwizytor, granice jednostronne są sobie równe.

Tak, ale pewna porządność w podejściu musi być zawsze można o tym wspomnieć jednym zdaniem

[matbu1988]

Panowie dziekuje bardzo za pomoc, jeszcze raz pozdrawiam