Całka z x do czwartej w mianowniku

[pablopoz]

Witam.
Muszę policzyć całeczkę:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^{4}+64}}\).
Wiem, że muszę mianownik rozłożyć na ułamki proste.
Więc:
\(\displaystyle{ x^{4}+64=(x^{2}+8)^{2}-(4x)^{2}=(x^{2}+8+4x)(x^{2}+8-4x)}\)

Podstawiając do całki:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^{4}+64}=\int \frac{dx}{(x^{2}+8+4x)(x^{2}+8-4x)}}\)

Tutaj rodzą mi się wątpliwości, ponieważ powinienem chyba doprowadzić wyrażenie do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{A}{(ax+b)^{k}}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{Bx+C}{(cx^{2}+dx+e)^{p}}}\), gdzie k i p to liczby naturalne, a mi tak nie wyszło. Wyszło mi więc źle?

[Chromosom]

pokaz jak liczyles. w tym przypadku w licznikach ma byc odpowiednio \(\displaystyle{ Ax+B}\) i \(\displaystyle{ Cx+D}\)

[Crizz]

Pewnie, że źle. Nie rozkłada sie mianowników, tylko wyrażenia wymierne na ułamki proste.

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^4+64}\equiv \frac{Ax+B}{x^2+4x+8}+\frac{Cx+D}{x^2-4x+8}}\). Masz znaleźć \(\displaystyle{ A,B,C,D}\).

[pablopoz]

Czyli:
\(\displaystyle{ (A+B)(x^{2}-4x+8)=1}\)
\(\displaystyle{ (C+D)(x^{2}+4x+8)=1}\)
Tak?

[Chromosom]

zle, przy wspolczynnikach \(\displaystyle{ A,C}\) jeszcze \(\displaystyle{ x}\) ma byc. Ide teraz, Crizz, Ci wyjasni jezeli bedziesz mial watpliwosci

[Crizz]

Ja to w ogóle nie wiem, jaki sposób na tym etapie rozdzieliłeś tę równość na dwie.

Pomnóż obie strony przez \(\displaystyle{ x^4+64}\), pamiętając, że \(\displaystyle{ x^{4}+64=(x^{2}+8+4x)(x^{2}+8-4x)}\).

[pablopoz]

Ja to w ogóle nie wiem, jaki sposób na tym etapie rozdzieliłeś tę równość na dwie.

Widzisz, nigdy czegoś takiego nie robiłem i nie mam pojęcia jak się do tego zabrać. Byłoby mi łatwiej gdybym chociaż raz zobaczył jak postępować z takim zadaniem, to wiedziałbym jak się do tego zabrać. Moje działania są "na czuja" i nie wiem, czy robię dobrze.

Zrobiłem jak kazałeś. Po wymnożeniu i skróceniu mam:

\(\displaystyle{ 1= (Ax+B)(x^{2}-4x+8)+(Cx+D)(x^{2}+4x+8)}\)
Mnożyć teraz nawiasy ?

Mnożę:
\(\displaystyle{ 1=Ax^{3}-4Ax^{2}+8Ax+Bx^{2}-4Bx+8B+Cx^{3}+4Cx^{2}+8Cx+4Dx+8D}\)
Porównuję współczynniki:
\(\displaystyle{ 1=8B+8D}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{8}=B+D}\)
Skąd mam wiedzieć ile dokładnie jest B, a ile D?
Bo A i C to zera, tak ?

[Crizz]

Hmmm... nie zauważyłem wcześniej, że to zadanie jest wyjątkowo wredne.

Teraz powymnażaj wszystko, przenieś tę jedynkę na drugą stronę. Pogrupuj wyrazy według potęg \(\displaystyle{ x}\), przy których stoją (tak, żebyś mógł łatwo odczytać współczynniki przy \(\displaystyle{ x^3,x^2,x^1,x^0}\) w otrzymanym wielomianie).

Potem, masz równość "wielomian=0", która mówi "ten wielomian jest wielomianem zerowym". Oznacza to, że wszystkie jego współczynniki muszą być równe zeru. Porównujesz do zera wszystkie współczynniki tego wielomianu i w ten sposób dostajesz układ równań.

Chodzi np. o coś takiego: w otrzymanym wielomianie będziesz miał \(\displaystyle{ (A+C)x^{3}+...}\), skąd masz pierwsze równanie układu: \(\displaystyle{ A+C=0}\).

Alternatywna metoda:    

Jeśli nie chce Ci się wymnażać, to alternatywną metodą będzie tu podstawienie czterech losowych wartości \(\displaystyle{ x}\) i potrzebne cztery równania dostaniesz od razu. Tak czy siak, rozwiązywanie układu równań Cię nie ominie.

Zadanie jest wredne, bo wielomiany \(\displaystyle{ x^{2}+4x+8}\) i \(\displaystyle{ x^{2}-4x+8}\) nie mają pierwiastków. Gdyby miały, to szczególnie korzystne w tej metodzie byłoby podstawienie ich pierwiastków za \(\displaystyle{ x}\)

[pablopoz]

Dobra, mam.
\(\displaystyle{ A= \frac{1}{64}}\)
\(\displaystyle{ B= \frac{1}{16}}\)
\(\displaystyle{ C= -\frac{1}{64}}\)
\(\displaystyle{ D= \frac{1}{16}}\)

Ufff...
Teraz wracamy do całeczki.
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^{4}+64} dx= \int \frac{ \frac{1}{64}x+ \frac{1}{16} }{x^{2}+4x+8} dx+ \int \frac{ -\frac{1}{64}x+ \frac{1}{16} }{x^{2}-4x+8}dx}\)

Kurde, już myślałem, że mi gładko pójdzie, a tu znowu klops:/
Teraz coś z pochodna mianownika, tak ?

[Crizz]

No OK, współczynniki są dobrze.

Tak, teraz wyciągnij przed całki taką stałą, żeby mieć w liczniku \(\displaystyle{ 2x+...}\). Potem musisz każdą z tych całek rozbić na dwie całki w taki sposób, żeby w jednej z każdej pary mieć w liczniku pochodną mianownika, a w drugiej - całą resztę.