zdania logiczne

[anesia19]

zapisz symbolicznie:
1. każda liczba rzeczywista jest mniejsza od 2
\(\displaystyle{ \forall x\in R \quad x < 2}\)
2. nie ma takiej liczby rzeczywistej, której kwadrat byłby ujemny
\(\displaystyle{ \neg \exists x\in R \quad x^{2}< 0}\)
3.jest taka liczba parzysta, która jest liczbą pierwszą
\(\displaystyle{ \exists x\in R\quad \exists n\in N\quad x=2n \wedge x/x=1 \wedge x/1=x}\)
4. są takie liczby parzyste, których suma cyfr dzieli się przez 3
\(\displaystyle{ \exists x\in R\quad}\) nie mam pomysłu co dalej
5.nie jest prawdą że każda liczba naturalna jest swoim dzielnikiem
\(\displaystyle{ \neg \forall n\in N\quad n/n}\)
6. do każdej liczby naturalnej istnieje jej odwrotność
\(\displaystyle{ \forall n\in N\quad \exists x\in R\quad n*x=1}\)

Proszę o korektę i podpowiedzi tam, gdzie mam błędy. Dziękuję:)

[Jan Kraszewski]

1,2 - dobrze
3 - źle
4 - \(\displaystyle{ (\exists a,b\in\mathbb{N})(2|a\land 2|b\land 3|(a+b))}\)
5 - dobrze, pod warunkiem, że tam jest \(\displaystyle{ n|n}\).
6 - chyba dobrze, zakładając standardowe znaczenie stwierdzenia, które trzeba zapisać.

JK

[anesia19]

W takim razie jak poprawić przykład 3? liczbę parzystą zapisuje się jako x=2n? dobrać jakieś inne zmienne?

-- 8 mar 2011, o 11:39 --

chyba wiem, trzeba zrobić podobnie jak w przykładzie 4?-- 8 mar 2011, o 11:42 --3.\(\displaystyle{ \exists a\in N \quad 2/a \wedge a/a \wedge 1/a}\)? Teraz lepiej?

[Jan Kraszewski]

Trochę, ale dalej źle. Dokładniej, źle zapisujesz, że liczba jest pierwsza. Poza tym wyrażenie "\(\displaystyle{ a}\) dzieli \(\displaystyle{ b}\)" zapisuje się tak: \(\displaystyle{ a|b}\), a nie tak: \(\displaystyle{ a/b}\).

JK

[Althorion]

Pragnę zauważyć, że w zadaniu chodziło o podzielność sumy cyfr, nie zaś samej liczby.

[anesia19]

w takim razie jak zapisać, że liczba jest pierwsza? dzieli się tylko przez jeden i przez samą siebie tak? a jak to zapisać logicznie?

[Jan Kraszewski]

Pragnę zauważyć, że w zadaniu chodziło o podzielność sumy cyfr, nie zaś samej liczby.

No tak, grunt to uważne czytanie...

Zatem 4. w wersji poprawionej jest równoważne zdaniu

\(\displaystyle{ (\exists a\in \mathbb{N})(2|a\land 3|a)}\)

przy założeniu, ze ignorujemy liczbę mnogą lub

\(\displaystyle{ (\exists a,b\in \mathbb{N})(2|a\land 2|b\land 3|a\land 3|b\land a\neq b)}\)

przy założeniu, że uwzględniamy liczbę mnogą.

Ponadto skorzystaliśmy z własności podzielności przez \(\displaystyle{ 3}\): "suma cyfr liczby jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)". Bez skorzystania z tej równoważności zapis staje się dużo mniej przyjemny.

JK

[Althorion]

Nie patrzeć. Bzdury.:    

Liczba \(\displaystyle{ q}\) jest pierwsza, gdy:
\(\displaystyle{ \neg \exists x \left( x \neq q \wedge q \neq 1 \wedge x|q \right)}\)

Czyli w prostszym zapisie:
\(\displaystyle{ \neg \bigvee_{1 \neq x \neq q} x|q}\)

[Jan Kraszewski]

Oba zapisy Althoriona są błędne. Pierwszego nie spełnia żadna liczba (bo \(\displaystyle{ x=1}\)...).
Drugi jest błędny, bo nie wynika z niego, że \(\displaystyle{ q\neq 1}\) (różność nie jest przechodnia).

Można tak: \(\displaystyle{ q\ge 2\land(\forall x)(x|q \Rightarrow x=1\lor x=q)}\).

JK

[Althorion]

Bardzo słusznie. Dziękuję za poprawienie mnie. Przy czym pierwszy zapis też jest błędny - według niego żadna liczba nie jest pierwsza, gdyż nie zabezpieczyłem sobie, żeby \(\displaystyle{ x\neq 1}\), a trudno oczekiwać od liczby naturalnej, żeby się przez jeden nie dzieliła.
EDYCJA - widzę, że pan to też już dostrzegł.

BTW, pamiętam jak na kolokwium do takiego zadania tworzyłem przez jakieś dwadzieścia sekund skomplikowaną konstrukcję, w której "nie istniały takie trzy liczby większe od jedności, których iloczyn byłby równy danej liczbie"...

[anesia19]

dziękuję bardzo za pomoc:)