znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej prostą:
l: \(\displaystyle{ \frac{x-3}{2}=\frac{x+1}{3}=\frac{z}{1}}\)
i prostopadłej do płaszczyzny
p: \(\displaystyle{ 2x+y-z+1=0}\)
wiem że pewnie zadanie opiera się o 2 wzory na krzyż, ale nie mam czasu na zgłębianie wiedzy samemu bo mam warunek z matmy i 3 dni na nauki wielu zagadnień.
wytłumaczy mi ktoś łopatologicznie jak to zrobić i podrzuci przy okazji wzory??
Dzięki wielkie
Basti
znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej prostą i prostopad
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej prostą i prostopad
Szukana płaszczyzna, nazwijmy ją \(\displaystyle{ \pi}\) ma równanie ogólne \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\)
ale wiemy, że zawiera prostą \(\displaystyle{ l}\), która przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ [3,-1,0]}\) zatem \(\displaystyle{ \p}\)i będzie miała postać:
\(\displaystyle{ A(x-3) + B(y+1) + Cz = 0}\) [*]
To wynika z jej równania: \(\displaystyle{ \frac{x-3}{2}=\frac{x+1}{3}=\frac{z}{1}}\)
Ponadto wektor normalny dla \(\displaystyle{ \pi}\) będzie prostopadły do wektora kierunkowego tej prostej czyli:
\(\displaystyle{ A \cdot 2 + B \cdot 3 + C \cdot 1 = 0}\) [*][*]
Wreszcie wiemy, że \(\displaystyle{ \pi \perp p : 2x+y-z+1=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ A \cdot 2 + B \cdot 1 + C \cdot (-1) = 0}\) [*][*][*]
Zbierając równania oznaczone gwiazdkami otrzymujemy układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ A,B,C}\) o którym wiemy, że ma niezerowe rozwiązanie bo płaszczyzna z definicji ma warunek \(\displaystyle{ A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0}\).
Zatem wyznacznik tego ukladu musi być równy zeru. I tam się kryje równanie płaszczyzny.
ale wiemy, że zawiera prostą \(\displaystyle{ l}\), która przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ [3,-1,0]}\) zatem \(\displaystyle{ \p}\)i będzie miała postać:
\(\displaystyle{ A(x-3) + B(y+1) + Cz = 0}\) [*]
To wynika z jej równania: \(\displaystyle{ \frac{x-3}{2}=\frac{x+1}{3}=\frac{z}{1}}\)
Ponadto wektor normalny dla \(\displaystyle{ \pi}\) będzie prostopadły do wektora kierunkowego tej prostej czyli:
\(\displaystyle{ A \cdot 2 + B \cdot 3 + C \cdot 1 = 0}\) [*][*]
Wreszcie wiemy, że \(\displaystyle{ \pi \perp p : 2x+y-z+1=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ A \cdot 2 + B \cdot 1 + C \cdot (-1) = 0}\) [*][*][*]
Zbierając równania oznaczone gwiazdkami otrzymujemy układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ A,B,C}\) o którym wiemy, że ma niezerowe rozwiązanie bo płaszczyzna z definicji ma warunek \(\displaystyle{ A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0}\).
Zatem wyznacznik tego ukladu musi być równy zeru. I tam się kryje równanie płaszczyzny.